Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18526 / 15197
↖ ↑ ↗
← N 12.929615°
E 23.532715°		 ← 1 190.60 m → N 12.929615°
E 23.543701°		 →
↑
1 190.68 m
↓
↑
1 190.68 m
↓
N 12.918907°
E 23.532715°		 ← 1 190.65 m →
1 417 653 m²		 N 12.918907°
E 23.543701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565383911132812 y=0.463790893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565383911132812 × 215)
    floor (0.565383911132812 × 32768)
    floor (18526.5)     		tx = 18526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463790893554688 × 215)
    floor (0.463790893554688 × 32768)
    floor (15197.5)     		ty = 15197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18526 / 15197 ti = "15/18526/15197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18526/15197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18526 ÷ 215
    18526 ÷ 32768     		x = 0.56536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15197 ÷ 215
    15197 ÷ 32768     		y = 0.463775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56536865234375 × 2 - 1) × π
    0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463775634765625 × 2 - 1) × π
    0.07244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.227604399396027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41072336} λ = 0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227604399396027))-π/2
    2×atan(1.25558851559458)-π/2
    2×0.898230336120325-π/2
    1.79646067224065-1.57079632675     		φ = 0.22566435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22566435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.929615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18526 KachelY 15197 0.41072336 0.22566435 23.532715 12.929615
    Oben rechts KachelX + 1 18527 KachelY 15197 0.41091510 0.22566435 23.543701 12.929615
    Unten links KachelX 18526 KachelY + 1 15198 0.41072336 0.22547746 23.532715 12.918907
    Unten rechts KachelX + 1 18527 KachelY + 1 15198 0.41091510 0.22547746 23.543701 12.918907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22566435-0.22547746) × R
    0.000186890000000023 × 6371000     		dl = 1190.67619000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22566435-0.22547746) × R
    0.000186890000000023 × 6371000     		dr = 1190.67619000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41072336-0.41091510) × cos(0.22566435) × R
    0.000191739999999996 × 0.974645671250159 × 6371000     		do = 1190.60331216605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41072336-0.41091510) × cos(0.22547746) × R
    0.000191739999999996 × 0.974687471598373 × 6371000     		du = 1190.65437444899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22566435)-sin(0.22547746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974645671250159-0.974687471598373)×R²
    abs(0.41091510-0.41072336)×4.18003482137719e-05×R²
    0.000191739999999996×4.18003482137719e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.18003482137719e-05×40589641000000     		ar = 1417653.41898004m²