Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18526 / 14243
↖ ↑ ↗
← N 70.781486°
W 78.233643°		 ← 201.08 m → N 70.781486°
W 78.228149°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
N 70.779678°
W 78.233643°		 ← 201.09 m →
40 432 m²		 N 70.779678°
W 78.228149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282691955566406 y=0.217338562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282691955566406 × 216)
    floor (0.282691955566406 × 65536)
    floor (18526.5)     		tx = 18526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217338562011719 × 216)
    floor (0.217338562011719 × 65536)
    floor (14243.5)     		ty = 14243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18526 / 14243 ti = "16/18526/14243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18526/14243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18526 ÷ 216
    18526 ÷ 65536     		x = 0.282684326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14243 ÷ 216
    14243 ÷ 65536     		y = 0.217330932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.43463134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36543465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217330932617188 × 2 - 1) × π
    0.565338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77606213092308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36543465} λ = -1.36543465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77606213092308))-π/2
    2×atan(5.90655133666615)-π/2
    2×1.40308315341281-π/2
    2.80616630682562-1.57079632675     		φ = 1.23536998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36543465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.233643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23536998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.781486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18526 KachelY 14243 -1.36543465 1.23536998 -78.233643 70.781486
    Oben rechts KachelX + 1 18527 KachelY 14243 -1.36533877 1.23536998 -78.228149 70.781486
    Unten links KachelX 18526 KachelY + 1 14244 -1.36543465 1.23533842 -78.233643 70.779678
    Unten rechts KachelX + 1 18527 KachelY + 1 14244 -1.36533877 1.23533842 -78.228149 70.779678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23536998-1.23533842) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dl = 201.068760000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23536998-1.23533842) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dr = 201.068760000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36543465--1.36533877) × cos(1.23536998) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.329171786289837 × 6371000     		do = 201.075072829725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36543465--1.36533877) × cos(1.23533842) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.329201587288807 × 6371000     		du = 201.093276814051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23536998)-sin(1.23533842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329171786289837-0.329201587288807)×R²
    abs(-1.36533877--1.36543465)×2.98009989700421e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.98009989700421e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.98009989700421e-05×40589641000000     		ar = 40431.7456904055m²