Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18524 / 51415
↖ ↑ ↗
← S 71.000872°
W 78.244629°		 ← 198.87 m → S 71.000872°
W 78.239136°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
S 71.002660°
W 78.244629°		 ← 198.85 m →
39 540 m²		 S 71.002660°
W 78.239136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282661437988281 y=0.784538269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282661437988281 × 216)
    floor (0.282661437988281 × 65536)
    floor (18524.5)     		tx = 18524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784538269042969 × 216)
    floor (0.784538269042969 × 65536)
    floor (51415.5)     		ty = 51415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18524 / 51415 ti = "16/18524/51415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18524/51415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18524 ÷ 216
    18524 ÷ 65536     		x = 0.28265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51415 ÷ 216
    51415 ÷ 65536     		y = 0.784530639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.4346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36562640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784530639648438 × 2 - 1) × π
    -0.569061279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78775873443037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36562640} λ = -1.36562640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78775873443037))-π/2
    2×atan(0.167334791403395)-π/2
    2×0.165798674210876-π/2
    0.331597348421753-1.57079632675     		φ = -1.23919898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36562640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.244629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23919898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.000872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18524 KachelY 51415 -1.36562640 -1.23919898 -78.244629 -71.000872
    Oben rechts KachelX + 1 18525 KachelY 51415 -1.36553052 -1.23919898 -78.239136 -71.000872
    Unten links KachelX 18524 KachelY + 1 51416 -1.36562640 -1.23923019 -78.244629 -71.002660
    Unten rechts KachelX + 1 18525 KachelY + 1 51416 -1.36553052 -1.23923019 -78.239136 -71.002660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23919898--1.23923019) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dl = 198.83890999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23919898--1.23923019) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dr = 198.83890999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36562640--1.36553052) × cos(-1.23919898) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.325553772056991 × 6371000     		do = 198.865003480465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36562640--1.36553052) × cos(-1.23923019) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32552426210914 × 6371000     		du = 198.846977285146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23919898)-sin(-1.23923019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325553772056991-0.32552426210914)×R²
    abs(-1.36553052--1.36562640)×2.9509947850892e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.9509947850892e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.9509947850892e-05×40589641000000     		ar = 39540.3083776328m²