Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18524 / 13755
↖ ↑ ↗
← N 27.732161°
E 23.510742°		 ← 1 081.31 m → N 27.732161°
E 23.521729°		 →
↑
1 081.35 m
↓
↑
1 081.35 m
↓
N 27.722436°
E 23.510742°		 ← 1 081.41 m →
1 169 329 m²		 N 27.722436°
E 23.521729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565322875976562 y=0.419784545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565322875976562 × 215)
    floor (0.565322875976562 × 32768)
    floor (18524.5)     		tx = 18524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419784545898438 × 215)
    floor (0.419784545898438 × 32768)
    floor (13755.5)     		ty = 13755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18524 / 13755 ti = "15/18524/13755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18524/13755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18524 ÷ 215
    18524 ÷ 32768     		x = 0.5653076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13755 ÷ 215
    13755 ÷ 32768     		y = 0.419769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5653076171875 × 2 - 1) × π
    0.130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41033986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419769287109375 × 2 - 1) × π
    0.16046142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.504104436404511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41033986} λ = 0.41033986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504104436404511))-π/2
    2×atan(1.65550224883165)-π/2
    2×1.02740691992827-π/2
    2.05481383985654-1.57079632675     		φ = 0.48401751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41033986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.510742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48401751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.732161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18524 KachelY 13755 0.41033986 0.48401751 23.510742 27.732161
    Oben rechts KachelX + 1 18525 KachelY 13755 0.41053161 0.48401751 23.521729 27.732161
    Unten links KachelX 18524 KachelY + 1 13756 0.41033986 0.48384778 23.510742 27.722436
    Unten rechts KachelX + 1 18525 KachelY + 1 13756 0.41053161 0.48384778 23.521729 27.722436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48401751-0.48384778) × R
    0.000169729999999979 × 6371000     		dl = 1081.34982999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48401751-0.48384778) × R
    0.000169729999999979 × 6371000     		dr = 1081.34982999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41033986-0.41053161) × cos(0.48401751) × R
    0.000191749999999991 × 0.88513256710351 × 6371000     		do = 1081.31268542685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41033986-0.41053161) × cos(0.48384778) × R
    0.000191749999999991 × 0.885211536333592 × 6371000     		du = 1081.40915733786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48401751)-sin(0.48384778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88513256710351-0.885211536333592)×R²
    abs(0.41053161-0.41033986)×7.89692300824374e-05×R²
    0.000191749999999991×7.89692300824374e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.89692300824374e-05×40589641000000     		ar = 1169329.45131234m²