Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18523 / 51416
↖ ↑ ↗
← S 71.002660°
W 78.250122°		 ← 198.83 m → S 71.002660°
W 78.244629°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
S 71.004448°
W 78.250122°		 ← 198.81 m →
39 533 m²		 S 71.004448°
W 78.244629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282646179199219 y=0.784553527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282646179199219 × 216)
    floor (0.282646179199219 × 65536)
    floor (18523.5)     		tx = 18523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784553527832031 × 216)
    floor (0.784553527832031 × 65536)
    floor (51416.5)     		ty = 51416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18523 / 51416 ti = "16/18523/51416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18523/51416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18523 ÷ 216
    18523 ÷ 65536     		x = 0.282638549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51416 ÷ 216
    51416 ÷ 65536     		y = 0.7845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282638549804688 × 2 - 1) × π
    -0.434722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36572227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7845458984375 × 2 - 1) × π
    -0.569091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78785460822961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36572227} λ = -1.36572227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78785460822961))-π/2
    2×atan(0.167318749150226)-π/2
    2×0.165783068879643-π/2
    0.331566137759286-1.57079632675     		φ = -1.23923019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36572227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.250122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23923019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.002660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18523 KachelY 51416 -1.36572227 -1.23923019 -78.250122 -71.002660
    Oben rechts KachelX + 1 18524 KachelY 51416 -1.36562640 -1.23923019 -78.244629 -71.002660
    Unten links KachelX 18523 KachelY + 1 51417 -1.36572227 -1.23926140 -78.250122 -71.004448
    Unten rechts KachelX + 1 18524 KachelY + 1 51417 -1.36562640 -1.23926140 -78.244629 -71.004448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23923019--1.23926140) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dl = 198.83890999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23923019--1.23926140) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dr = 198.83890999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36572227--1.36562640) × cos(-1.23923019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32552426210914 × 6371000     		do = 198.826238134533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36572227--1.36562640) × cos(-1.23926140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325494751844208 × 6371000     		du = 198.808213625623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23923019)-sin(-1.23926140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32552426210914-0.325494751844208)×R²
    abs(-1.36562640--1.36572227)×2.95102649323642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95102649323642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95102649323642e-05×40589641000000     		ar = 39532.6004863246m²