Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18522 / 22520
↖ ↑ ↗
← N 75.502659°
W129.127808°		 ← 76.46 m → N 75.502659°
W129.125061°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
N 75.501971°
W129.127808°		 ← 76.46 m →
5 846 m²		 N 75.501971°
W129.125061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141315460205078 y=0.171817779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141315460205078 × 217)
    floor (0.141315460205078 × 131072)
    floor (18522.5)     		tx = 18522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171817779541016 × 217)
    floor (0.171817779541016 × 131072)
    floor (22520.5)     		ty = 22520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18522 / 22520 ti = "17/18522/22520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18522/22520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18522 ÷ 217
    18522 ÷ 131072     		x = 0.141311645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22520 ÷ 217
    22520 ÷ 131072     		y = 0.17181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141311645507812 × 2 - 1) × π
    -0.717376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25370540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17181396484375 × 2 - 1) × π
    0.6563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06205367405634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25370540} λ = -2.25370540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06205367405634))-π/2
    2×atan(7.86209943178827)-π/2
    2×1.44428315900751-π/2
    2.88856631801502-1.57079632675     		φ = 1.31776999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25370540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.127808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31776999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.502659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18522 KachelY 22520 -2.25370540 1.31776999 -129.127808 75.502659
    Oben rechts KachelX + 1 18523 KachelY 22520 -2.25365746 1.31776999 -129.125061 75.502659
    Unten links KachelX 18522 KachelY + 1 22521 -2.25370540 1.31775799 -129.127808 75.501971
    Unten rechts KachelX + 1 18523 KachelY + 1 22521 -2.25365746 1.31775799 -129.125061 75.501971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31776999-1.31775799) × R
    1.1999999999901e-05 × 6371000     		dl = 76.4519999993691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31776999-1.31775799) × R
    1.1999999999901e-05 × 6371000     		dr = 76.4519999993691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25370540--2.25365746) × cos(1.31776999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250335077141195 × 6371000     		do = 76.4587761837565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25370540--2.25365746) × cos(1.31775799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250346695034269 × 6371000     		du = 76.4623245873457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31776999)-sin(1.31775799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250335077141195-0.250346695034269)×R²
    abs(-2.25365746--2.25370540)×1.16178930733568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16178930733568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16178930733568e-05×40589641000000     		ar = 5845.56199824738m²