Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18521 / 22519
↖ ↑ ↗
← N 75.503346°
W129.130554°		 ← 76.46 m → N 75.503346°
W129.127808°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
N 75.502659°
W129.130554°		 ← 76.46 m →
5 845 m²		 N 75.502659°
W129.127808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141307830810547 y=0.171810150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141307830810547 × 217)
    floor (0.141307830810547 × 131072)
    floor (18521.5)     		tx = 18521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171810150146484 × 217)
    floor (0.171810150146484 × 131072)
    floor (22519.5)     		ty = 22519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18521 / 22519 ti = "17/18521/22519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18521/22519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18521 ÷ 217
    18521 ÷ 131072     		x = 0.141304016113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22519 ÷ 217
    22519 ÷ 131072     		y = 0.171806335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141304016113281 × 2 - 1) × π
    -0.717391967773438 × 3.1415926535     		Λ = -2.25375334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171806335449219 × 2 - 1) × π
    0.656387329101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.06210161095596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25375334} λ = -2.25375334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06210161095596))-π/2
    2×atan(7.86247632549302)-π/2
    2×1.44428915901198-π/2
    2.88857831802396-1.57079632675     		φ = 1.31778199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25375334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.130554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31778199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.503346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18521 KachelY 22519 -2.25375334 1.31778199 -129.130554 75.503346
    Oben rechts KachelX + 1 18522 KachelY 22519 -2.25370540 1.31778199 -129.127808 75.503346
    Unten links KachelX 18521 KachelY + 1 22520 -2.25375334 1.31776999 -129.130554 75.502659
    Unten rechts KachelX + 1 18522 KachelY + 1 22520 -2.25370540 1.31776999 -129.127808 75.502659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31778199-1.31776999) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dl = 76.4520000007838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31778199-1.31776999) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dr = 76.4520000007838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25375334--2.25370540) × cos(1.31778199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250323459212073 × 6371000     		do = 76.4552277691572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25375334--2.25370540) × cos(1.31776999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250335077141195 × 6371000     		du = 76.4587761837565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31778199)-sin(1.31776999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250323459212073-0.250335077141195)×R²
    abs(-2.25370540--2.25375334)×1.16179291218543e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16179291218543e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16179291218543e-05×40589641000000     		ar = 5845.29071507702m²