Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18521 / 15210
↖ ↑ ↗
← N 12.790375°
E 23.477783°		 ← 1 191.33 m → N 12.790375°
E 23.488770°		 →
↑
1 191.31 m
↓
↑
1 191.31 m
↓
N 12.779661°
E 23.477783°		 ← 1 191.38 m →
1 419 273 m²		 N 12.779661°
E 23.488770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565231323242188 y=0.464187622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565231323242188 × 215)
    floor (0.565231323242188 × 32768)
    floor (18521.5)     		tx = 18521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464187622070312 × 215)
    floor (0.464187622070312 × 32768)
    floor (15210.5)     		ty = 15210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18521 / 15210 ti = "15/18521/15210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18521/15210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18521 ÷ 215
    18521 ÷ 32768     		x = 0.565216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15210 ÷ 215
    15210 ÷ 32768     		y = 0.46417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565216064453125 × 2 - 1) × π
    0.13043212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40976462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46417236328125 × 2 - 1) × π
    0.0716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.225111680615784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40976462} λ = 0.40976462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225111680615784))-π/2
    2×atan(1.25246258417409)-π/2
    2×0.897015239698275-π/2
    1.79403047939655-1.57079632675     		φ = 0.22323415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40976462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.477783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22323415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.790375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18521 KachelY 15210 0.40976462 0.22323415 23.477783 12.790375
    Oben rechts KachelX + 1 18522 KachelY 15210 0.40995637 0.22323415 23.488770 12.790375
    Unten links KachelX 18521 KachelY + 1 15211 0.40976462 0.22304716 23.477783 12.779661
    Unten rechts KachelX + 1 18522 KachelY + 1 15211 0.40995637 0.22304716 23.488770 12.779661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22323415-0.22304716) × R
    0.000186989999999998 × 6371000     		dl = 1191.31328999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22323415-0.22304716) × R
    0.000186989999999998 × 6371000     		dr = 1191.31328999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40976462-0.40995637) × cos(0.22323415) × R
    0.000191749999999991 × 0.975186559419886 × 6371000     		do = 1191.32617705973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40976462-0.40995637) × cos(0.22304716) × R
    0.000191749999999991 × 0.975227939091198 × 6371000     		du = 1191.37672809036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22323415)-sin(0.22304716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975186559419886-0.975227939091198)×R²
    abs(0.40995637-0.40976462)×4.1379671312014e-05×R²
    0.000191749999999991×4.1379671312014e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.1379671312014e-05×40589641000000     		ar = 1419272.82264887m²