Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18520 / 22584
↖ ↑ ↗
← S 56.121060°
E 23.466797°		 ← 680.99 m → S 56.121060°
E 23.477783°		 →
↑
680.93 m
↓
↑
680.93 m
↓
S 56.127184°
E 23.466797°		 ← 680.88 m →
463 672 m²		 S 56.127184°
E 23.477783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565200805664062 y=0.689224243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565200805664062 × 215)
    floor (0.565200805664062 × 32768)
    floor (18520.5)     		tx = 18520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689224243164062 × 215)
    floor (0.689224243164062 × 32768)
    floor (22584.5)     		ty = 22584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18520 / 22584 ti = "15/18520/22584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18520/22584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18520 ÷ 215
    18520 ÷ 32768     		x = 0.565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22584 ÷ 215
    22584 ÷ 32768     		y = 0.689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565185546875 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.37841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40957287} λ = 0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18883511057739))-π/2
    2×atan(0.304575854688683)-π/2
    2×0.295649521343065-π/2
    0.59129904268613-1.57079632675     		φ = -0.97949728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97949728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.121060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18520 KachelY 22584 0.40957287 -0.97949728 23.466797 -56.121060
    Oben rechts KachelX + 1 18521 KachelY 22584 0.40976462 -0.97949728 23.477783 -56.121060
    Unten links KachelX 18520 KachelY + 1 22585 0.40957287 -0.97960416 23.466797 -56.127184
    Unten rechts KachelX + 1 18521 KachelY + 1 22585 0.40976462 -0.97960416 23.477783 -56.127184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97949728--0.97960416) × R
    0.00010687999999992 × 6371000     		dl = 680.932479999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97949728--0.97960416) × R
    0.00010687999999992 × 6371000     		dr = 680.932479999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40957287-0.40976462) × cos(-0.97949728) × R
    0.000191750000000046 × 0.557439983999297 × 6371000     		do = 680.990563973077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40957287-0.40976462) × cos(-0.97960416) × R
    0.000191750000000046 × 0.55735124719703 × 6371000     		du = 680.882159612508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97949728)-sin(-0.97960416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557439983999297-0.55735124719703)×R²
    abs(0.40976462-0.40957287)×8.87368022666202e-05×R²
    0.000191750000000046×8.87368022666202e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.87368022666202e-05×40589641000000     		ar = 463671.685999088m²