Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18520 / 15170
↖ ↑ ↗
← N 13.218556°
E 23.466797°		 ← 1 189.27 m → N 13.218556°
E 23.477783°		 →
↑
1 189.27 m
↓
↑
1 189.27 m
↓
N 13.207860°
E 23.466797°		 ← 1 189.32 m →
1 414 402 m²		 N 13.207860°
E 23.477783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565200805664062 y=0.462966918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565200805664062 × 215)
    floor (0.565200805664062 × 32768)
    floor (18520.5)     		tx = 18520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462966918945312 × 215)
    floor (0.462966918945312 × 32768)
    floor (15170.5)     		ty = 15170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18520 / 15170 ti = "15/18520/15170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18520/15170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18520 ÷ 215
    18520 ÷ 32768     		x = 0.565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15170 ÷ 215
    15170 ÷ 32768     		y = 0.46295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565185546875 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46295166015625 × 2 - 1) × π
    0.0740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.232781584554993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40957287} λ = 0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232781584554993))-π/2
    2×atan(1.26210578582364)-π/2
    2×0.900751825230308-π/2
    1.80150365046062-1.57079632675     		φ = 0.23070732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23070732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.218556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18520 KachelY 15170 0.40957287 0.23070732 23.466797 13.218556
    Oben rechts KachelX + 1 18521 KachelY 15170 0.40976462 0.23070732 23.477783 13.218556
    Unten links KachelX 18520 KachelY + 1 15171 0.40957287 0.23052065 23.466797 13.207860
    Unten rechts KachelX + 1 18521 KachelY + 1 15171 0.40976462 0.23052065 23.477783 13.207860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23070732-0.23052065) × R
    0.00018667 × 6371000     		dl = 1189.27457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23070732-0.23052065) × R
    0.00018667 × 6371000     		dr = 1189.27457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40957287-0.40976462) × cos(0.23070732) × R
    0.000191750000000046 × 0.973504898393465 × 6371000     		do = 1189.271793945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40957287-0.40976462) × cos(0.23052065) × R
    0.000191750000000046 × 0.97354756654411 × 6371000     		du = 1189.32391903256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23070732)-sin(0.23052065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973504898393465-0.97354756654411)×R²
    abs(0.40976462-0.40957287)×4.2668150645464e-05×R²
    0.000191750000000046×4.2668150645464e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.2668150645464e-05×40589641000000     		ar = 1414401.70098459m²