Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18519 / 15172
↖ ↑ ↗
← N 13.197164°
E 23.455810°		 ← 1 189.38 m → N 13.197164°
E 23.466797°		 →
↑
1 189.34 m
↓
↑
1 189.34 m
↓
N 13.186468°
E 23.455810°		 ← 1 189.43 m →
1 414 601 m²		 N 13.186468°
E 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565170288085938 y=0.463027954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565170288085938 × 215)
    floor (0.565170288085938 × 32768)
    floor (18519.5)     		tx = 18519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463027954101562 × 215)
    floor (0.463027954101562 × 32768)
    floor (15172.5)     		ty = 15172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18519 / 15172 ti = "15/18519/15172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18519/15172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18519 ÷ 215
    18519 ÷ 32768     		x = 0.565155029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15172 ÷ 215
    15172 ÷ 32768     		y = 0.4630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565155029296875 × 2 - 1) × π
    0.13031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40938112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4630126953125 × 2 - 1) × π
    0.073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.232398089358032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40938112} λ = 0.40938112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232398089358032))-π/2
    2×atan(1.2616218671129)-π/2
    2×0.900565149823544-π/2
    1.80113029964709-1.57079632675     		φ = 0.23033397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40938112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.455810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23033397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.197164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18519 KachelY 15172 0.40938112 0.23033397 23.455810 13.197164
    Oben rechts KachelX + 1 18520 KachelY 15172 0.40957287 0.23033397 23.466797 13.197164
    Unten links KachelX 18519 KachelY + 1 15173 0.40938112 0.23014729 23.455810 13.186468
    Unten rechts KachelX + 1 18520 KachelY + 1 15173 0.40957287 0.23014729 23.466797 13.186468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23033397-0.23014729) × R
    0.000186679999999995 × 6371000     		dl = 1189.33827999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23033397-0.23014729) × R
    0.000186679999999995 × 6371000     		dr = 1189.33827999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40938112-0.40957287) × cos(0.23033397) × R
    0.000191749999999991 × 0.973590203053847 × 6371000     		do = 1189.37600546599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40938112-0.40957287) × cos(0.23014729) × R
    0.000191749999999991 × 0.973632805634528 × 6371000     		du = 1189.4280504507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23033397)-sin(0.23014729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973590203053847-0.973632805634528)×R²
    abs(0.40957287-0.40938112)×4.26025806806729e-05×R²
    0.000191749999999991×4.26025806806729e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.26025806806729e-05×40589641000000     		ar = 1414601.36626848m²