Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18519 / 15143
↖ ↑ ↗
← N 13.507156°
E 23.455810°		 ← 1 187.85 m → N 13.507156°
E 23.466797°		 →
↑
1 187.87 m
↓
↑
1 187.87 m
↓
N 13.496473°
E 23.455810°		 ← 1 187.90 m →
1 411 046 m²		 N 13.496473°
E 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565170288085938 y=0.462142944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565170288085938 × 215)
    floor (0.565170288085938 × 32768)
    floor (18519.5)     		tx = 18519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462142944335938 × 215)
    floor (0.462142944335938 × 32768)
    floor (15143.5)     		ty = 15143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18519 / 15143 ti = "15/18519/15143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18519/15143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18519 ÷ 215
    18519 ÷ 32768     		x = 0.565155029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15143 ÷ 215
    15143 ÷ 32768     		y = 0.462127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565155029296875 × 2 - 1) × π
    0.13031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40938112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462127685546875 × 2 - 1) × π
    0.07574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.237958769713959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40938112} λ = 0.40938112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237958769713959))-π/2
    2×atan(1.26865688466034)-π/2
    2×0.90327033106796-π/2
    1.80654066213592-1.57079632675     		φ = 0.23574434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40938112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.455810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23574434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.507156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18519 KachelY 15143 0.40938112 0.23574434 23.455810 13.507156
    Oben rechts KachelX + 1 18520 KachelY 15143 0.40957287 0.23574434 23.466797 13.507156
    Unten links KachelX 18519 KachelY + 1 15144 0.40938112 0.23555789 23.455810 13.496473
    Unten rechts KachelX + 1 18520 KachelY + 1 15144 0.40957287 0.23555789 23.466797 13.496473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23574434-0.23555789) × R
    0.000186450000000005 × 6371000     		dl = 1187.87295000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23574434-0.23555789) × R
    0.000186450000000005 × 6371000     		dr = 1187.87295000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40938112-0.40957287) × cos(0.23574434) × R
    0.000191749999999991 × 0.97234075759391 × 6371000     		do = 1187.8496338514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40938112-0.40957287) × cos(0.23555789) × R
    0.000191749999999991 × 0.972384289222907 × 6371000     		du = 1187.902813798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23574434)-sin(0.23555789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97234075759391-0.972384289222907)×R²
    abs(0.40957287-0.40938112)×4.35316289968402e-05×R²
    0.000191749999999991×4.35316289968402e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.35316289968402e-05×40589641000000     		ar = 1411046.03831737m²