Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18519 / 14216
↖ ↑ ↗
← N 23.160564°
E 23.455810°		 ← 1 123.18 m → N 23.160564°
E 23.466797°		 →
↑
1 123.21 m
↓
↑
1 123.21 m
↓
N 23.150462°
E 23.455810°		 ← 1 123.27 m →
1 261 615 m²		 N 23.150462°
E 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565170288085938 y=0.433853149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565170288085938 × 215)
    floor (0.565170288085938 × 32768)
    floor (18519.5)     		tx = 18519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433853149414062 × 215)
    floor (0.433853149414062 × 32768)
    floor (14216.5)     		ty = 14216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18519 / 14216 ti = "15/18519/14216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18519/14216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18519 ÷ 215
    18519 ÷ 32768     		x = 0.565155029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14216 ÷ 215
    14216 ÷ 32768     		y = 0.433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565155029296875 × 2 - 1) × π
    0.13031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40938112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433837890625 × 2 - 1) × π
    0.13232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.415708793505127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40938112} λ = 0.40938112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415708793505127))-π/2
    2×atan(1.51544449732832)-π/2
    2×0.987512206571729-π/2
    1.97502441314346-1.57079632675     		φ = 0.40422809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40938112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.455810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40422809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.160564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18519 KachelY 14216 0.40938112 0.40422809 23.455810 23.160564
    Oben rechts KachelX + 1 18520 KachelY 14216 0.40957287 0.40422809 23.466797 23.160564
    Unten links KachelX 18519 KachelY + 1 14217 0.40938112 0.40405179 23.455810 23.150462
    Unten rechts KachelX + 1 18520 KachelY + 1 14217 0.40957287 0.40405179 23.466797 23.150462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40422809-0.40405179) × R
    0.000176299999999963 × 6371000     		dl = 1123.20729999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40422809-0.40405179) × R
    0.000176299999999963 × 6371000     		dr = 1123.20729999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40938112-0.40957287) × cos(0.40422809) × R
    0.000191749999999991 × 0.919406270335596 × 6371000     		do = 1123.18278653802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40938112-0.40957287) × cos(0.40405179) × R
    0.000191749999999991 × 0.919475596455095 × 6371000     		du = 1123.26747804665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40422809)-sin(0.40405179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919406270335596-0.919475596455095)×R²
    abs(0.40957287-0.40938112)×6.932611949928e-05×R²
    0.000191749999999991×6.932611949928e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.932611949928e-05×40589641000000     		ar = 1261614.67140176m²