Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18518 / 15147
↖ ↑ ↗
← N 13.464422°
E 23.444824°		 ← 1 188 m → N 13.464422°
E 23.455810°		 →
↑
1 188.06 m
↓
↑
1 188.06 m
↓
N 13.453737°
E 23.444824°		 ← 1 188.05 m →
1 411 452 m²		 N 13.453737°
E 23.455810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565139770507812 y=0.462265014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565139770507812 × 215)
    floor (0.565139770507812 × 32768)
    floor (18518.5)     		tx = 18518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462265014648438 × 215)
    floor (0.462265014648438 × 32768)
    floor (15147.5)     		ty = 15147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18518 / 15147 ti = "15/18518/15147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18518/15147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18518 ÷ 215
    18518 ÷ 32768     		x = 0.56512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15147 ÷ 215
    15147 ÷ 32768     		y = 0.462249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56512451171875 × 2 - 1) × π
    0.1302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40918938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462249755859375 × 2 - 1) × π
    0.07550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.237191779320038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40918938} λ = 0.40918938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237191779320038))-π/2
    2×atan(1.26768421008033)-π/2
    2×0.902897409689546-π/2
    1.80579481937909-1.57079632675     		φ = 0.23499849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40918938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.444824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23499849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.464422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18518 KachelY 15147 0.40918938 0.23499849 23.444824 13.464422
    Oben rechts KachelX + 1 18519 KachelY 15147 0.40938112 0.23499849 23.455810 13.464422
    Unten links KachelX 18518 KachelY + 1 15148 0.40918938 0.23481201 23.444824 13.453737
    Unten rechts KachelX + 1 18519 KachelY + 1 15148 0.40938112 0.23481201 23.455810 13.453737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23499849-0.23481201) × R
    0.000186480000000017 × 6371000     		dl = 1188.06408000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23499849-0.23481201) × R
    0.000186480000000017 × 6371000     		dr = 1188.06408000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40918938-0.40938112) × cos(0.23499849) × R
    0.000191739999999996 × 0.972514692924442 × 6371000     		do = 1188.00016116708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40918938-0.40938112) × cos(0.23481201) × R
    0.000191739999999996 × 0.972558096300787 × 6371000     		du = 1188.05318166998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23499849)-sin(0.23481201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972514692924442-0.972558096300787)×R²
    abs(0.40938112-0.40918938)×4.3403376344231e-05×R²
    0.000191739999999996×4.3403376344231e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.3403376344231e-05×40589641000000     		ar = 1411451.81848488m²