Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18518 / 14164
↖ ↑ ↗
← N 23.684774°
E 23.444824°		 ← 1 118.68 m → N 23.684774°
E 23.455810°		 →
↑
1 118.75 m
↓
↑
1 118.75 m
↓
N 23.674713°
E 23.444824°		 ← 1 118.77 m →
1 251 570 m²		 N 23.674713°
E 23.455810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565139770507812 y=0.432266235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565139770507812 × 215)
    floor (0.565139770507812 × 32768)
    floor (18518.5)     		tx = 18518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432266235351562 × 215)
    floor (0.432266235351562 × 32768)
    floor (14164.5)     		ty = 14164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18518 / 14164 ti = "15/18518/14164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18518/14164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18518 ÷ 215
    18518 ÷ 32768     		x = 0.56512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14164 ÷ 215
    14164 ÷ 32768     		y = 0.4322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56512451171875 × 2 - 1) × π
    0.1302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40918938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4322509765625 × 2 - 1) × π
    0.135498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.425679668626099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40918938} λ = 0.40918938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425679668626099))-π/2
    2×atan(1.53063038765918)-π/2
    2×0.992086809293586-π/2
    1.98417361858717-1.57079632675     		φ = 0.41337729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40918938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.444824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41337729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.684774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18518 KachelY 14164 0.40918938 0.41337729 23.444824 23.684774
    Oben rechts KachelX + 1 18519 KachelY 14164 0.40938112 0.41337729 23.455810 23.684774
    Unten links KachelX 18518 KachelY + 1 14165 0.40918938 0.41320169 23.444824 23.674713
    Unten rechts KachelX + 1 18519 KachelY + 1 14165 0.40938112 0.41320169 23.455810 23.674713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41337729-0.41320169) × R
    0.000175599999999998 × 6371000     		dl = 1118.74759999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41337729-0.41320169) × R
    0.000175599999999998 × 6371000     		dr = 1118.74759999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40918938-0.40938112) × cos(0.41337729) × R
    0.000191739999999996 × 0.915769375703161 × 6371000     		do = 1118.68146964003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40918938-0.40938112) × cos(0.41320169) × R
    0.000191739999999996 × 0.915839900881982 × 6371000     		du = 1118.76762147343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41337729)-sin(0.41320169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915769375703161-0.915839900881982)×R²
    abs(0.40938112-0.40918938)×7.05251788216676e-05×R²
    0.000191739999999996×7.05251788216676e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.05251788216676e-05×40589641000000     		ar = 1251570.40361839m²