Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18514 / 22630
↖ ↑ ↗
← S 56.401744°
E 23.400879°		 ← 676.01 m → S 56.401744°
E 23.411865°		 →
↑
675.96 m
↓
↑
675.96 m
↓
S 56.407823°
E 23.400879°		 ← 675.91 m →
456 924 m²		 S 56.407823°
E 23.411865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565017700195312 y=0.690628051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565017700195312 × 215)
    floor (0.565017700195312 × 32768)
    floor (18514.5)     		tx = 18514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690628051757812 × 215)
    floor (0.690628051757812 × 32768)
    floor (22630.5)     		ty = 22630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18514 / 22630 ti = "15/18514/22630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18514/22630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18514 ÷ 215
    18514 ÷ 32768     		x = 0.56500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22630 ÷ 215
    22630 ÷ 32768     		y = 0.69061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56500244140625 × 2 - 1) × π
    0.1300048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40842238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.3812255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19765550010748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40842238} λ = 0.40842238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19765550010748))-π/2
    2×atan(0.301901190141012)-π/2
    2×0.293200091645973-π/2
    0.586400183291945-1.57079632675     		φ = -0.98439614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40842238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.400879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98439614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.401744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18514 KachelY 22630 0.40842238 -0.98439614 23.400879 -56.401744
    Oben rechts KachelX + 1 18515 KachelY 22630 0.40861413 -0.98439614 23.411865 -56.401744
    Unten links KachelX 18514 KachelY + 1 22631 0.40842238 -0.98450224 23.400879 -56.407823
    Unten rechts KachelX + 1 18515 KachelY + 1 22631 0.40861413 -0.98450224 23.411865 -56.407823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98439614--0.98450224) × R
    0.000106099999999998 × 6371000     		dl = 675.963099999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98439614--0.98450224) × R
    0.000106099999999998 × 6371000     		dr = 675.963099999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40842238-0.40861413) × cos(-0.98439614) × R
    0.000191750000000046 × 0.553366193302472 × 6371000     		do = 676.01386136155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40842238-0.40861413) × cos(-0.98450224) × R
    0.000191750000000046 × 0.55327781545697 × 6371000     		du = 675.905895516654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98439614)-sin(-0.98450224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553366193302472-0.55327781545697)×R²
    abs(0.40861413-0.40842238)×8.83778455023077e-05×R²
    0.000191750000000046×8.83778455023077e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.83778455023077e-05×40589641000000     		ar = 456923.935334328m²