Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18514 / 15182
↖ ↑ ↗
← N 13.090179°
E 23.400879°		 ← 1 189.89 m → N 13.090179°
E 23.411865°		 →
↑
1 189.91 m
↓
↑
1 189.91 m
↓
N 13.079478°
E 23.400879°		 ← 1 189.95 m →
1 415 900 m²		 N 13.079478°
E 23.411865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565017700195312 y=0.463333129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565017700195312 × 215)
    floor (0.565017700195312 × 32768)
    floor (18514.5)     		tx = 18514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463333129882812 × 215)
    floor (0.463333129882812 × 32768)
    floor (15182.5)     		ty = 15182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18514 / 15182 ti = "15/18514/15182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18514/15182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18514 ÷ 215
    18514 ÷ 32768     		x = 0.56500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15182 ÷ 215
    15182 ÷ 32768     		y = 0.46331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56500244140625 × 2 - 1) × π
    0.1300048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40842238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46331787109375 × 2 - 1) × π
    0.0733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.23048061337323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40842238} λ = 0.40842238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23048061337323))-π/2
    2×atan(1.2592050553106)-π/2
    2×0.899631528111312-π/2
    1.79926305622262-1.57079632675     		φ = 0.22846673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40842238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.400879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22846673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.090179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18514 KachelY 15182 0.40842238 0.22846673 23.400879 13.090179
    Oben rechts KachelX + 1 18515 KachelY 15182 0.40861413 0.22846673 23.411865 13.090179
    Unten links KachelX 18514 KachelY + 1 15183 0.40842238 0.22827996 23.400879 13.079478
    Unten rechts KachelX + 1 18515 KachelY + 1 15183 0.40861413 0.22827996 23.411865 13.079478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22846673-0.22827996) × R
    0.000186770000000003 × 6371000     		dl = 1189.91167000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22846673-0.22827996) × R
    0.000186770000000003 × 6371000     		dr = 1189.91167000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40842238-0.40861413) × cos(0.22846673) × R
    0.000191750000000046 × 0.974014801461761 × 6371000     		do = 1189.89471154693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40842238-0.40861413) × cos(0.22827996) × R
    0.000191750000000046 × 0.974057084957635 × 6371000     		du = 1189.94636672512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22846673)-sin(0.22827996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974014801461761-0.974057084957635)×R²
    abs(0.40861413-0.40842238)×4.22834958745399e-05×R²
    0.000191750000000046×4.22834958745399e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.22834958745399e-05×40589641000000     		ar = 1415900.34000666m²