Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18513 / 15181
↖ ↑ ↗
← N 13.100880°
E 23.389893°		 ← 1 189.78 m → N 13.100880°
E 23.400879°		 →
↑
1 189.85 m
↓
↑
1 189.85 m
↓
N 13.090179°
E 23.389893°		 ← 1 189.83 m →
1 415 689 m²		 N 13.090179°
E 23.400879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564987182617188 y=0.463302612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564987182617188 × 215)
    floor (0.564987182617188 × 32768)
    floor (18513.5)     		tx = 18513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463302612304688 × 215)
    floor (0.463302612304688 × 32768)
    floor (15181.5)     		ty = 15181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18513 / 15181 ti = "15/18513/15181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18513/15181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18513 ÷ 215
    18513 ÷ 32768     		x = 0.564971923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15181 ÷ 215
    15181 ÷ 32768     		y = 0.463287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564971923828125 × 2 - 1) × π
    0.12994384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40823064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463287353515625 × 2 - 1) × π
    0.07342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.23067236097171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40823064} λ = 0.40823064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23067236097171))-π/2
    2×atan(1.25944652800612)-π/2
    2×0.899724908582643-π/2
    1.79944981716529-1.57079632675     		φ = 0.22865349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40823064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.389893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22865349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.100880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18513 KachelY 15181 0.40823064 0.22865349 23.389893 13.100880
    Oben rechts KachelX + 1 18514 KachelY 15181 0.40842238 0.22865349 23.400879 13.100880
    Unten links KachelX 18513 KachelY + 1 15182 0.40823064 0.22846673 23.389893 13.090179
    Unten rechts KachelX + 1 18514 KachelY + 1 15182 0.40842238 0.22846673 23.400879 13.090179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22865349-0.22846673) × R
    0.00018675999999998 × 6371000     		dl = 1189.84795999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22865349-0.22846673) × R
    0.00018675999999998 × 6371000     		dr = 1189.84795999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40823064-0.40842238) × cos(0.22865349) × R
    0.000191739999999996 × 0.973972486255959 × 6371000     		do = 1189.78096584324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40823064-0.40842238) × cos(0.22846673) × R
    0.000191739999999996 × 0.974014801461761 × 6371000     		du = 1189.83265706362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22865349)-sin(0.22846673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973972486255959-0.974014801461761)×R²
    abs(0.40842238-0.40823064)×4.23152058021126e-05×R²
    0.000191739999999996×4.23152058021126e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.23152058021126e-05×40589641000000     		ar = 1415689.21151664m²