Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18512 / 14160
↖ ↑ ↗
← N 23.725012°
E 23.378906°		 ← 1 118.39 m → N 23.725012°
E 23.389893°		 →
↑
1 118.43 m
↓
↑
1 118.43 m
↓
N 23.714953°
E 23.378906°		 ← 1 118.48 m →
1 250 894 m²		 N 23.714953°
E 23.389893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564956665039062 y=0.432144165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564956665039062 × 215)
    floor (0.564956665039062 × 32768)
    floor (18512.5)     		tx = 18512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432144165039062 × 215)
    floor (0.432144165039062 × 32768)
    floor (14160.5)     		ty = 14160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18512 / 14160 ti = "15/18512/14160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18512/14160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18512 ÷ 215
    18512 ÷ 32768     		x = 0.56494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14160 ÷ 215
    14160 ÷ 32768     		y = 0.43212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56494140625 × 2 - 1) × π
    0.1298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40803889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43212890625 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.42644665902002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40803889} λ = 0.40803889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42644665902002))-π/2
    2×atan(1.53180481679352)-π/2
    2×0.992437948325196-π/2
    1.98487589665039-1.57079632675     		φ = 0.41407957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40803889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41407957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.725012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18512 KachelY 14160 0.40803889 0.41407957 23.378906 23.725012
    Oben rechts KachelX + 1 18513 KachelY 14160 0.40823064 0.41407957 23.389893 23.725012
    Unten links KachelX 18512 KachelY + 1 14161 0.40803889 0.41390402 23.378906 23.714953
    Unten rechts KachelX + 1 18513 KachelY + 1 14161 0.40823064 0.41390402 23.389893 23.714953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41407957-0.41390402) × R
    0.000175550000000024 × 6371000     		dl = 1118.42905000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41407957-0.41390402) × R
    0.000175550000000024 × 6371000     		dr = 1118.42905000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40803889-0.40823064) × cos(0.41407957) × R
    0.000191749999999991 × 0.915487040910553 × 6371000     		do = 1118.39490204263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40803889-0.40823064) × cos(0.41390402) × R
    0.000191749999999991 × 0.915557658900003 × 6371000     		du = 1118.4811717503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41407957)-sin(0.41390402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915487040910553-0.915557658900003)×R²
    abs(0.40823064-0.40803889)×7.06179894504055e-05×R²
    0.000191749999999991×7.06179894504055e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.06179894504055e-05×40589641000000     		ar = 1250893.59430247m²