Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1851 / 2643
↖ ↑ ↗
← S 46.255847°
W 17.314453°		 ← 6 757.47 m → S 46.255847°
W 17.226562°		 →
↑
6 753.64 m
↓
↑
6 753.64 m
↓
S 46.316584°
W 17.314453°		 ← 6 749.98 m →
45 612 262 m²		 S 46.316584°
W 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4520263671875 y=0.6453857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4520263671875 × 212)
    floor (0.4520263671875 × 4096)
    floor (1851.5)     		tx = 1851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6453857421875 × 212)
    floor (0.6453857421875 × 4096)
    floor (2643.5)     		ty = 2643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1851 / 2643 ti = "12/1851/2643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1851/2643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1851 ÷ 212
    1851 ÷ 4096     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2643 ÷ 212
    2643 ÷ 4096     		y = 0.645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.29052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.912718568765869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912718568765869))-π/2
    2×atan(0.401431420354688)-π/2
    2×0.381739750766154-π/2
    0.763479501532309-1.57079632675     		φ = -0.80731683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80731683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.255847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1851 KachelY 2643 -0.30219422 -0.80731683 -17.314453 -46.255847
    Oben rechts KachelX + 1 1852 KachelY 2643 -0.30066023 -0.80731683 -17.226562 -46.255847
    Unten links KachelX 1851 KachelY + 1 2644 -0.30219422 -0.80837689 -17.314453 -46.316584
    Unten rechts KachelX + 1 1852 KachelY + 1 2644 -0.30066023 -0.80837689 -17.226562 -46.316584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80731683--0.80837689) × R
    0.00106006000000003 × 6371000     		dl = 6753.64226000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80731683--0.80837689) × R
    0.00106006000000003 × 6371000     		dr = 6753.64226000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30066023) × cos(-0.80731683) × R
    0.00153399000000004 × 0.691439334251083 × 6371000     		do = 6757.47138612013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30066023) × cos(-0.80837689) × R
    0.00153399000000004 × 0.690673121954347 × 6371000     		du = 6749.98315481131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80731683)-sin(-0.80837689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691439334251083-0.690673121954347)×R²
    abs(-0.30066023--0.30219422)×0.000766212296736568×R²
    0.00153399000000004×0.000766212296736568×6371000²
    0.00153399000000004×0.000766212296736568×40589641000000     		ar = 45612262.1776397m²