Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1851 / 1771
↖ ↑ ↗
← N 23.644524°
W 17.314453°		 ← 8 952.62 m → N 23.644524°
W 17.226562°		 →
↑
8 955.33 m
↓
↑
8 955.33 m
↓
N 23.563987°
W 17.314453°		 ← 8 958.12 m →
80 198 295 m²		 N 23.563987°
W 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4520263671875 y=0.4324951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4520263671875 × 212)
    floor (0.4520263671875 × 4096)
    floor (1851.5)     		tx = 1851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4324951171875 × 212)
    floor (0.4324951171875 × 4096)
    floor (1771.5)     		ty = 1771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1851 / 1771 ti = "12/1851/1771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1851/1771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1851 ÷ 212
    1851 ÷ 4096     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1771 ÷ 212
    1771 ÷ 4096     		y = 0.432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.424912678232178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424912678232178))-π/2
    2×atan(1.52945685895535)-π/2
    2×0.991735562058178-π/2
    1.98347112411636-1.57079632675     		φ = 0.41267480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41267480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.644524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1851 KachelY 1771 -0.30219422 0.41267480 -17.314453 23.644524
    Oben rechts KachelX + 1 1852 KachelY 1771 -0.30066023 0.41267480 -17.226562 23.644524
    Unten links KachelX 1851 KachelY + 1 1772 -0.30219422 0.41126916 -17.314453 23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 1852 KachelY + 1 1772 -0.30066023 0.41126916 -17.226562 23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41267480-0.41126916) × R
    0.00140563999999999 × 6371000     		dl = 8955.33243999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41267480-0.41126916) × R
    0.00140563999999999 × 6371000     		dr = 8955.33243999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30066023) × cos(0.41267480) × R
    0.00153399000000004 × 0.91605134306373 × 6371000     		do = 8952.61584398411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30066023) × cos(0.41126916) × R
    0.00153399000000004 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 8958.11652950153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41267480)-sin(0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91605134306373-0.916614185303787)×R²
    abs(-0.30066023--0.30219422)×0.000562842240057093×R²
    0.00153399000000004×0.000562842240057093×6371000²
    0.00153399000000004×0.000562842240057093×40589641000000     		ar = 80198294.5290252m²