Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1851 / 1102
↖ ↑ ↗
← N 63.626745°
W 17.314453°		 ← 4 341.36 m → N 63.626745°
W 17.226562°		 →
↑
4 344.32 m
↓
↑
4 344.32 m
↓
N 63.587675°
W 17.314453°		 ← 4 347.32 m →
18 873 209 m²		 N 63.587675°
W 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4520263671875 y=0.2691650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4520263671875 × 212)
    floor (0.4520263671875 × 4096)
    floor (1851.5)     		tx = 1851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2691650390625 × 212)
    floor (0.2691650390625 × 4096)
    floor (1102.5)     		ty = 1102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1851 / 1102 ti = "12/1851/1102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1851/1102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1851 ÷ 212
    1851 ÷ 4096     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1102 ÷ 212
    1102 ÷ 4096     		y = 0.26904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26904296875 × 2 - 1) × π
    0.4619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45114582529834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45114582529834))-π/2
    2×atan(4.26800209925401)-π/2
    2×1.34064625657654-π/2
    2.68129251315309-1.57079632675     		φ = 1.11049619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11049619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.626745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1851 KachelY 1102 -0.30219422 1.11049619 -17.314453 63.626745
    Oben rechts KachelX + 1 1852 KachelY 1102 -0.30066023 1.11049619 -17.226562 63.626745
    Unten links KachelX 1851 KachelY + 1 1103 -0.30219422 1.10981430 -17.314453 63.587675
    Unten rechts KachelX + 1 1852 KachelY + 1 1103 -0.30066023 1.10981430 -17.226562 63.587675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11049619-1.10981430) × R
    0.000681890000000074 × 6371000     		dl = 4344.32119000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11049619-1.10981430) × R
    0.000681890000000074 × 6371000     		dr = 4344.32119000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30066023) × cos(1.11049619) × R
    0.00153399000000004 × 0.444217025290261 × 6371000     		do = 4341.35532783603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30066023) × cos(1.10981430) × R
    0.00153399000000004 × 0.444827840319719 × 6371000     		du = 4347.32485383682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11049619)-sin(1.10981430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444217025290261-0.444827840319719)×R²
    abs(-0.30066023--0.30219422)×0.000610815029458256×R²
    0.00153399000000004×0.000610815029458256×6371000²
    0.00153399000000004×0.000610815029458256×40589641000000     		ar = 18873209.4444867m²