Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18509 / 22767
↖ ↑ ↗
← N 75.331853°
W129.163513°		 ← 77.34 m → N 75.331853°
W129.160767°		 →
↑
77.34 m
↓
↑
77.34 m
↓
N 75.331158°
W129.163513°		 ← 77.34 m →
5 982 m²		 N 75.331158°
W129.160767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141216278076172 y=0.173702239990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141216278076172 × 217)
    floor (0.141216278076172 × 131072)
    floor (18509.5)     		tx = 18509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173702239990234 × 217)
    floor (0.173702239990234 × 131072)
    floor (22767.5)     		ty = 22767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18509 / 22767 ti = "17/18509/22767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18509/22767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18509 ÷ 217
    18509 ÷ 131072     		x = 0.141212463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22767 ÷ 217
    22767 ÷ 131072     		y = 0.173698425292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141212463378906 × 2 - 1) × π
    -0.717575073242188 × 3.1415926535     		Λ = -2.25432858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173698425292969 × 2 - 1) × π
    0.652603149414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.05021325985018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25432858} λ = -2.25432858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05021325985018))-π/2
    2×atan(7.76955786438664)-π/2
    2×1.44279259857416-π/2
    2.88558519714833-1.57079632675     		φ = 1.31478887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25432858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.163513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31478887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.331853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18509 KachelY 22767 -2.25432858 1.31478887 -129.163513 75.331853
    Oben rechts KachelX + 1 18510 KachelY 22767 -2.25428064 1.31478887 -129.160767 75.331853
    Unten links KachelX 18509 KachelY + 1 22768 -2.25432858 1.31477673 -129.163513 75.331158
    Unten rechts KachelX + 1 18510 KachelY + 1 22768 -2.25428064 1.31477673 -129.160767 75.331158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31478887-1.31477673) × R
    1.21400000001604e-05 × 6371000     		dl = 77.3439400010216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31478887-1.31477673) × R
    1.21400000001604e-05 × 6371000     		dr = 77.3439400010216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25432858--2.25428064) × cos(1.31478887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.253220159421231 × 6371000     		do = 77.3399545740967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25432858--2.25428064) × cos(1.31477673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.253231903743926 × 6371000     		du = 77.3435415925465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31478887)-sin(1.31477673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253220159421231-0.253231903743926)×R²
    abs(-2.25428064--2.25432858)×1.17443226947955e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17443226947955e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17443226947955e-05×40589641000000     		ar = 5981.9155233309m²