Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18509 / 22605
↖ ↑ ↗
← S 56.249454°
E 23.345947°		 ← 678.68 m → S 56.249454°
E 23.356933°		 →
↑
678.64 m
↓
↑
678.64 m
↓
S 56.255557°
E 23.345947°		 ← 678.57 m →
460 542 m²		 S 56.255557°
E 23.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564865112304688 y=0.689865112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564865112304688 × 215)
    floor (0.564865112304688 × 32768)
    floor (18509.5)     		tx = 18509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689865112304688 × 215)
    floor (0.689865112304688 × 32768)
    floor (22605.5)     		ty = 22605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18509 / 22605 ti = "15/18509/22605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18509/22605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18509 ÷ 215
    18509 ÷ 32768     		x = 0.564849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22605 ÷ 215
    22605 ÷ 32768     		y = 0.689849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564849853515625 × 2 - 1) × π
    0.12969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40746365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.37969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19286181014548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40746365} λ = 0.40746365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19286181014548))-π/2
    2×atan(0.303351885158765)-π/2
    2×0.294529074508845-π/2
    0.589058149017689-1.57079632675     		φ = -0.98173818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40746365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.345947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98173818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.249454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18509 KachelY 22605 0.40746365 -0.98173818 23.345947 -56.249454
    Oben rechts KachelX + 1 18510 KachelY 22605 0.40765539 -0.98173818 23.356933 -56.249454
    Unten links KachelX 18509 KachelY + 1 22606 0.40746365 -0.98184470 23.345947 -56.255557
    Unten rechts KachelX + 1 18510 KachelY + 1 22606 0.40765539 -0.98184470 23.356933 -56.255557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98173818--0.98184470) × R
    0.000106519999999999 × 6371000     		dl = 678.638919999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98173818--0.98184470) × R
    0.000106519999999999 × 6371000     		dr = 678.638919999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40746365-0.40765539) × cos(-0.98173818) × R
    0.000191739999999996 × 0.555578152116207 × 6371000     		do = 678.680681183543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40746365-0.40765539) × cos(-0.98184470) × R
    0.000191739999999996 × 0.555489581384978 × 6371000     		du = 678.572485344713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98173818)-sin(-0.98184470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555578152116207-0.555489581384978)×R²
    abs(0.40765539-0.40746365)×8.85707312289208e-05×R²
    0.000191739999999996×8.85707312289208e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.85707312289208e-05×40589641000000     		ar = 460542.411985736m²