Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18509 / 22595
↖ ↑ ↗
← S 56.188368°
E 23.345947°		 ← 679.76 m → S 56.188368°
E 23.356933°		 →
↑
679.72 m
↓
↑
679.72 m
↓
S 56.194481°
E 23.345947°		 ← 679.65 m →
462 013 m²		 S 56.194481°
E 23.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564865112304688 y=0.689559936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564865112304688 × 215)
    floor (0.564865112304688 × 32768)
    floor (18509.5)     		tx = 18509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689559936523438 × 215)
    floor (0.689559936523438 × 32768)
    floor (22595.5)     		ty = 22595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18509 / 22595 ti = "15/18509/22595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18509/22595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18509 ÷ 215
    18509 ÷ 32768     		x = 0.564849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22595 ÷ 215
    22595 ÷ 32768     		y = 0.689544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564849853515625 × 2 - 1) × π
    0.12969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40746365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.37908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19094433416068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40746365} λ = 0.40746365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19094433416068))-π/2
    2×atan(0.303934113139196)-π/2
    2×0.29506215312606-π/2
    0.590124306252121-1.57079632675     		φ = -0.98067202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40746365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.345947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98067202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.188368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18509 KachelY 22595 0.40746365 -0.98067202 23.345947 -56.188368
    Oben rechts KachelX + 1 18510 KachelY 22595 0.40765539 -0.98067202 23.356933 -56.188368
    Unten links KachelX 18509 KachelY + 1 22596 0.40746365 -0.98077871 23.345947 -56.194481
    Unten rechts KachelX + 1 18510 KachelY + 1 22596 0.40765539 -0.98077871 23.356933 -56.194481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98067202--0.98077871) × R
    0.000106690000000076 × 6371000     		dl = 679.721990000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98067202--0.98077871) × R
    0.000106690000000076 × 6371000     		dr = 679.721990000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40746365-0.40765539) × cos(-0.98067202) × R
    0.000191739999999996 × 0.556464310186591 × 6371000     		do = 679.763190206897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40746365-0.40765539) × cos(-0.98077871) × R
    0.000191739999999996 × 0.556375661337964 × 6371000     		du = 679.654898941766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98067202)-sin(-0.98077871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556464310186591-0.556375661337964)×R²
    abs(0.40765539-0.40746365)×8.86488486265824e-05×R²
    0.000191739999999996×8.86488486265824e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.86488486265824e-05×40589641000000     		ar = 462013.184837542m²