Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18508 / 22604
↖ ↑ ↗
← S 56.243350°
E 23.334961°		 ← 678.82 m → S 56.243350°
E 23.345947°		 →
↑
678.77 m
↓
↑
678.77 m
↓
S 56.249454°
E 23.334961°		 ← 678.72 m →
460 726 m²		 S 56.249454°
E 23.345947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564834594726562 y=0.689834594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564834594726562 × 215)
    floor (0.564834594726562 × 32768)
    floor (18508.5)     		tx = 18508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689834594726562 × 215)
    floor (0.689834594726562 × 32768)
    floor (22604.5)     		ty = 22604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18508 / 22604 ti = "15/18508/22604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18508/22604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18508 ÷ 215
    18508 ÷ 32768     		x = 0.5648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22604 ÷ 215
    22604 ÷ 32768     		y = 0.6898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5648193359375 × 2 - 1) × π
    0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.379638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.192670062547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40727190} λ = 0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.192670062547))-π/2
    2×atan(0.303410057731286)-π/2
    2×0.29458234414345-π/2
    0.589164688286899-1.57079632675     		φ = -0.98163164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98163164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.243350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18508 KachelY 22604 0.40727190 -0.98163164 23.334961 -56.243350
    Oben rechts KachelX + 1 18509 KachelY 22604 0.40746365 -0.98163164 23.345947 -56.243350
    Unten links KachelX 18508 KachelY + 1 22605 0.40727190 -0.98173818 23.334961 -56.249454
    Unten rechts KachelX + 1 18509 KachelY + 1 22605 0.40746365 -0.98173818 23.345947 -56.249454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98163164--0.98173818) × R
    0.000106539999999988 × 6371000     		dl = 678.766339999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98163164--0.98173818) × R
    0.000106539999999988 × 6371000     		dr = 678.766339999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40727190-0.40746365) × cos(-0.98163164) × R
    0.000191749999999991 × 0.555666733171665 × 6371000     		do = 678.824291161749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40727190-0.40746365) × cos(-0.98173818) × R
    0.000191749999999991 × 0.555578152116207 × 6371000     		du = 678.716077067595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98163164)-sin(-0.98173818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555666733171665-0.555578152116207)×R²
    abs(0.40746365-0.40727190)×8.85810554582811e-05×R²
    0.000191749999999991×8.85810554582811e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.85810554582811e-05×40589641000000     		ar = 460726.354007727m²