Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18505 / 22599
↖ ↑ ↗
← S 56.212814°
E 23.302002°		 ← 679.33 m → S 56.212814°
E 23.312988°		 →
↑
679.28 m
↓
↑
679.28 m
↓
S 56.218923°
E 23.302002°		 ← 679.22 m →
461 416 m²		 S 56.218923°
E 23.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564743041992188 y=0.689682006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564743041992188 × 215)
    floor (0.564743041992188 × 32768)
    floor (18505.5)     		tx = 18505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689682006835938 × 215)
    floor (0.689682006835938 × 32768)
    floor (22599.5)     		ty = 22599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18505 / 22599 ti = "15/18505/22599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18505/22599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18505 ÷ 215
    18505 ÷ 32768     		x = 0.564727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22599 ÷ 215
    22599 ÷ 32768     		y = 0.689666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564727783203125 × 2 - 1) × π
    0.12945556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40669666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.37933349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1917113245546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40669666} λ = 0.40669666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1917113245546))-π/2
    2×atan(0.303701087969491)-π/2
    2×0.294848819725231-π/2
    0.589697639450462-1.57079632675     		φ = -0.98109869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40669666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.302002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98109869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.212814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18505 KachelY 22599 0.40669666 -0.98109869 23.302002 -56.212814
    Oben rechts KachelX + 1 18506 KachelY 22599 0.40688840 -0.98109869 23.312988 -56.212814
    Unten links KachelX 18505 KachelY + 1 22600 0.40669666 -0.98120531 23.302002 -56.218923
    Unten rechts KachelX + 1 18506 KachelY + 1 22600 0.40688840 -0.98120531 23.312988 -56.218923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98109869--0.98120531) × R
    0.000106619999999946 × 6371000     		dl = 679.276019999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98109869--0.98120531) × R
    0.000106619999999946 × 6371000     		dr = 679.276019999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40669666-0.40688840) × cos(-0.98109869) × R
    0.000191739999999996 × 0.556109751597391 × 6371000     		do = 679.330070106833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40669666-0.40688840) × cos(-0.98120531) × R
    0.000191739999999996 × 0.556021135609577 × 6371000     		du = 679.221818983667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98109869)-sin(-0.98120531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556109751597391-0.556021135609577)×R²
    abs(0.40688840-0.40669666)×8.86159878137338e-05×R²
    0.000191739999999996×8.86159878137338e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.86159878137338e-05×40589641000000     		ar = 461415.860529614m²