Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18505 / 14244
↖ ↑ ↗
← N 22.877440°
E 23.302002°		 ← 1 125.48 m → N 22.877440°
E 23.312988°		 →
↑
1 125.56 m
↓
↑
1 125.56 m
↓
N 22.867318°
E 23.302002°		 ← 1 125.57 m →
1 266 853 m²		 N 22.867318°
E 23.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564743041992188 y=0.434707641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564743041992188 × 215)
    floor (0.564743041992188 × 32768)
    floor (18505.5)     		tx = 18505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434707641601562 × 215)
    floor (0.434707641601562 × 32768)
    floor (14244.5)     		ty = 14244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18505 / 14244 ti = "15/18505/14244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18505/14244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18505 ÷ 215
    18505 ÷ 32768     		x = 0.564727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14244 ÷ 215
    14244 ÷ 32768     		y = 0.4346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564727783203125 × 2 - 1) × π
    0.12945556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40669666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4346923828125 × 2 - 1) × π
    0.130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.410339860747681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40669666} λ = 0.40669666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410339860747681))-π/2
    2×atan(1.50732998036452)-π/2
    2×0.985041493662764-π/2
    1.97008298732553-1.57079632675     		φ = 0.39928666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40669666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.302002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39928666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.877440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18505 KachelY 14244 0.40669666 0.39928666 23.302002 22.877440
    Oben rechts KachelX + 1 18506 KachelY 14244 0.40688840 0.39928666 23.312988 22.877440
    Unten links KachelX 18505 KachelY + 1 14245 0.40669666 0.39910999 23.302002 22.867318
    Unten rechts KachelX + 1 18506 KachelY + 1 14245 0.40688840 0.39910999 23.312988 22.867318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39928666-0.39910999) × R
    0.00017666999999999 × 6371000     		dl = 1125.56456999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39928666-0.39910999) × R
    0.00017666999999999 × 6371000     		dr = 1125.56456999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40669666-0.40688840) × cos(0.39928666) × R
    0.000191739999999996 × 0.921338547316873 × 6371000     		do = 1125.4846334614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40669666-0.40688840) × cos(0.39910999) × R
    0.000191739999999996 × 0.921407215381587 × 6371000     		du = 1125.56851668963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39928666)-sin(0.39910999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921338547316873-0.921407215381587)×R²
    abs(0.40688840-0.40669666)×6.86680647133953e-05×R²
    0.000191739999999996×6.86680647133953e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.86680647133953e-05×40589641000000     		ar = 1266852.83879327m²