Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18504 / 22601
↖ ↑ ↗
← S 56.225031°
E 23.291016°		 ← 679.15 m → S 56.225031°
E 23.302002°		 →
↑
679.08 m
↓
↑
679.08 m
↓
S 56.231139°
E 23.291016°		 ← 679.04 m →
461 163 m²		 S 56.231139°
E 23.302002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564712524414062 y=0.689743041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564712524414062 × 215)
    floor (0.564712524414062 × 32768)
    floor (18504.5)     		tx = 18504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689743041992188 × 215)
    floor (0.689743041992188 × 32768)
    floor (22601.5)     		ty = 22601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18504 / 22601 ti = "15/18504/22601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18504/22601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18504 ÷ 215
    18504 ÷ 32768     		x = 0.564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22601 ÷ 215
    22601 ÷ 32768     		y = 0.689727783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564697265625 × 2 - 1) × π
    0.12939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40650491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.37945556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19209481975156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40650491} λ = 0.40650491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19209481975156))-π/2
    2×atan(0.30358464239053)-π/2
    2×0.294742204007772-π/2
    0.589484408015545-1.57079632675     		φ = -0.98131192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40650491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98131192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.225031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18504 KachelY 22601 0.40650491 -0.98131192 23.291016 -56.225031
    Oben rechts KachelX + 1 18505 KachelY 22601 0.40669666 -0.98131192 23.302002 -56.225031
    Unten links KachelX 18504 KachelY + 1 22602 0.40650491 -0.98141851 23.291016 -56.231139
    Unten rechts KachelX + 1 18505 KachelY + 1 22602 0.40669666 -0.98141851 23.302002 -56.231139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98131192--0.98141851) × R
    0.000106590000000018 × 6371000     		dl = 679.084890000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98131192--0.98141851) × R
    0.000106590000000018 × 6371000     		dr = 679.084890000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40650491-0.40669666) × cos(-0.98131192) × R
    0.000191749999999991 × 0.555932521613287 × 6371000     		do = 679.148988754231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40650491-0.40669666) × cos(-0.98141851) × R
    0.000191749999999991 × 0.555843917924172 × 6371000     		du = 679.040747009914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98131192)-sin(-0.98141851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555932521613287-0.555843917924172)×R²
    abs(0.40669666-0.40650491)×8.86036891144526e-05×R²
    0.000191749999999991×8.86036891144526e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.86036891144526e-05×40589641000000     		ar = 461163.064091936m²