Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18503 / 22607
↖ ↑ ↗
← S 56.261660°
E 23.280029°		 ← 678.50 m → S 56.261660°
E 23.291016°		 →
↑
678.38 m
↓
↑
678.38 m
↓
S 56.267761°
E 23.280029°		 ← 678.39 m →
460 247 m²		 S 56.267761°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564682006835938 y=0.689926147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564682006835938 × 215)
    floor (0.564682006835938 × 32768)
    floor (18503.5)     		tx = 18503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689926147460938 × 215)
    floor (0.689926147460938 × 32768)
    floor (22607.5)     		ty = 22607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18503 / 22607 ti = "15/18503/22607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18503/22607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18503 ÷ 215
    18503 ÷ 32768     		x = 0.564666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22607 ÷ 215
    22607 ÷ 32768     		y = 0.689910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564666748046875 × 2 - 1) × π
    0.12933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40631316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689910888671875 × 2 - 1) × π
    -0.37982177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19324530534244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40631316} λ = 0.40631316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19324530534244))-π/2
    2×atan(0.30323557347173)-π/2
    2×0.294422560715393-π/2
    0.588845121430787-1.57079632675     		φ = -0.98195121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40631316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.280029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98195121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.261660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18503 KachelY 22607 0.40631316 -0.98195121 23.280029 -56.261660
    Oben rechts KachelX + 1 18504 KachelY 22607 0.40650491 -0.98195121 23.291016 -56.261660
    Unten links KachelX 18503 KachelY + 1 22608 0.40631316 -0.98205769 23.280029 -56.267761
    Unten rechts KachelX + 1 18504 KachelY + 1 22608 0.40650491 -0.98205769 23.291016 -56.267761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98195121--0.98205769) × R
    0.00010648000000002 × 6371000     		dl = 678.384080000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98195121--0.98205769) × R
    0.00010648000000002 × 6371000     		dr = 678.384080000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40631316-0.40650491) × cos(-0.98195121) × R
    0.000191749999999991 × 0.555401012666707 × 6371000     		do = 678.499676563363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40631316-0.40650491) × cos(-0.98205769) × R
    0.000191749999999991 × 0.55531246259701 × 6371000     		du = 678.391500322631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98195121)-sin(-0.98205769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555401012666707-0.55531246259701)×R²
    abs(0.40650491-0.40631316)×8.855006969688e-05×R²
    0.000191749999999991×8.855006969688e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.855006969688e-05×40589641000000     		ar = 460246.686781486m²