Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18503 / 15189
↖ ↑ ↗
← N 13.015262°
E 23.280029°		 ← 1 190.26 m → N 13.015262°
E 23.291016°		 →
↑
1 190.29 m
↓
↑
1 190.29 m
↓
N 13.004558°
E 23.280029°		 ← 1 190.31 m →
1 416 784 m²		 N 13.004558°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564682006835938 y=0.463546752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564682006835938 × 215)
    floor (0.564682006835938 × 32768)
    floor (18503.5)     		tx = 18503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463546752929688 × 215)
    floor (0.463546752929688 × 32768)
    floor (15189.5)     		ty = 15189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18503 / 15189 ti = "15/18503/15189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18503/15189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18503 ÷ 215
    18503 ÷ 32768     		x = 0.564666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15189 ÷ 215
    15189 ÷ 32768     		y = 0.463531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564666748046875 × 2 - 1) × π
    0.12933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40631316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463531494140625 × 2 - 1) × π
    0.07293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.229138380183868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40631316} λ = 0.40631316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.229138380183868))-π/2
    2×atan(1.25751604227141)-π/2
    2×0.898977751433421-π/2
    1.79795550286684-1.57079632675     		φ = 0.22715918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40631316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.280029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22715918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.015262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18503 KachelY 15189 0.40631316 0.22715918 23.280029 13.015262
    Oben rechts KachelX + 1 18504 KachelY 15189 0.40650491 0.22715918 23.291016 13.015262
    Unten links KachelX 18503 KachelY + 1 15190 0.40631316 0.22697235 23.280029 13.004558
    Unten rechts KachelX + 1 18504 KachelY + 1 15190 0.40650491 0.22697235 23.291016 13.004558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22715918-0.22697235) × R
    0.000186829999999999 × 6371000     		dl = 1190.29392999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22715918-0.22697235) × R
    0.000186829999999999 × 6371000     		dr = 1190.29392999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40631316-0.40650491) × cos(0.22715918) × R
    0.000191749999999991 × 0.974310108375679 × 6371000     		do = 1190.25547006343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40631316-0.40650491) × cos(0.22697235) × R
    0.000191749999999991 × 0.974352167466788 × 6371000     		du = 1190.30685109994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22715918)-sin(0.22697235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974310108375679-0.974352167466788)×R²
    abs(0.40650491-0.40631316)×4.20590911089924e-05×R²
    0.000191749999999991×4.20590911089924e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.20590911089924e-05×40589641000000     		ar = 1416784.4445548m²