Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18502 / 22645
↖ ↑ ↗
← S 56.492827°
E 23.269043°		 ← 674.40 m → S 56.492827°
E 23.280029°		 →
↑
674.31 m
↓
↑
674.31 m
↓
S 56.498891°
E 23.269043°		 ← 674.29 m →
454 713 m²		 S 56.498891°
E 23.280029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564651489257812 y=0.691085815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564651489257812 × 215)
    floor (0.564651489257812 × 32768)
    floor (18502.5)     		tx = 18502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691085815429688 × 215)
    floor (0.691085815429688 × 32768)
    floor (22645.5)     		ty = 22645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18502 / 22645 ti = "15/18502/22645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18502/22645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18502 ÷ 215
    18502 ÷ 32768     		x = 0.56463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22645 ÷ 215
    22645 ÷ 32768     		y = 0.691070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56463623046875 × 2 - 1) × π
    0.1292724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40612141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.38214111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20053171408469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40612141} λ = 0.40612141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20053171408469))-π/2
    2×atan(0.301034105276751)-π/2
    2×0.292405244686548-π/2
    0.584810489373096-1.57079632675     		φ = -0.98598584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40612141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98598584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.492827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18502 KachelY 22645 0.40612141 -0.98598584 23.269043 -56.492827
    Oben rechts KachelX + 1 18503 KachelY 22645 0.40631316 -0.98598584 23.280029 -56.492827
    Unten links KachelX 18502 KachelY + 1 22646 0.40612141 -0.98609168 23.269043 -56.498891
    Unten rechts KachelX + 1 18503 KachelY + 1 22646 0.40631316 -0.98609168 23.280029 -56.498891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98598584--0.98609168) × R
    0.000105840000000024 × 6371000     		dl = 674.306640000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98598584--0.98609168) × R
    0.000105840000000024 × 6371000     		dr = 674.306640000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40612141-0.40631316) × cos(-0.98598584) × R
    0.000191749999999991 × 0.552041372965453 × 6371000     		do = 674.395408838453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40612141-0.40631316) × cos(-0.98609168) × R
    0.000191749999999991 × 0.551953118711961 × 6371000     		du = 674.287593978408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98598584)-sin(-0.98609168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552041372965453-0.551953118711961)×R²
    abs(0.40631316-0.40612141)×8.82542534917929e-05×R²
    0.000191749999999991×8.82542534917929e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.82542534917929e-05×40589641000000     		ar = 454712.952452616m²