Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18502 / 22610
↖ ↑ ↗
← S 56.279961°
E 23.269043°		 ← 678.18 m → S 56.279961°
E 23.280029°		 →
↑
678.13 m
↓
↑
678.13 m
↓
S 56.286059°
E 23.269043°		 ← 678.07 m →
459 854 m²		 S 56.286059°
E 23.280029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564651489257812 y=0.690017700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564651489257812 × 215)
    floor (0.564651489257812 × 32768)
    floor (18502.5)     		tx = 18502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690017700195312 × 215)
    floor (0.690017700195312 × 32768)
    floor (22610.5)     		ty = 22610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18502 / 22610 ti = "15/18502/22610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18502/22610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18502 ÷ 215
    18502 ÷ 32768     		x = 0.56463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22610 ÷ 215
    22610 ÷ 32768     		y = 0.69000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56463623046875 × 2 - 1) × π
    0.1292724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40612141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.3800048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19382054813788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40612141} λ = 0.40612141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19382054813788))-π/2
    2×atan(0.303061189554124)-π/2
    2×0.294262853703366-π/2
    0.588525707406731-1.57079632675     		φ = -0.98227062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40612141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98227062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.279961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18502 KachelY 22610 0.40612141 -0.98227062 23.269043 -56.279961
    Oben rechts KachelX + 1 18503 KachelY 22610 0.40631316 -0.98227062 23.280029 -56.279961
    Unten links KachelX 18502 KachelY + 1 22611 0.40612141 -0.98237706 23.269043 -56.286059
    Unten rechts KachelX + 1 18503 KachelY + 1 22611 0.40631316 -0.98237706 23.280029 -56.286059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98227062--0.98237706) × R
    0.000106440000000041 × 6371000     		dl = 678.129240000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98227062--0.98237706) × R
    0.000106440000000041 × 6371000     		dr = 678.129240000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40612141-0.40631316) × cos(-0.98227062) × R
    0.000191749999999991 × 0.555135368523039 × 6371000     		do = 678.175155250926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40612141-0.40631316) × cos(-0.98237706) × R
    0.000191749999999991 × 0.55504683284251 × 6371000     		du = 678.066996588566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98227062)-sin(-0.98237706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555135368523039-0.55504683284251)×R²
    abs(0.40631316-0.40612141)×8.85356805291337e-05×R²
    0.000191749999999991×8.85356805291337e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.85356805291337e-05×40589641000000     		ar = 459853.730276154m²