Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18501 / 22602
↖ ↑ ↗
← S 56.231139°
E 23.258057°		 ← 679.01 m → S 56.231139°
E 23.269043°		 →
↑
678.96 m
↓
↑
678.96 m
↓
S 56.237245°
E 23.258057°		 ← 678.90 m →
460 979 m²		 S 56.237245°
E 23.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564620971679688 y=0.689773559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564620971679688 × 215)
    floor (0.564620971679688 × 32768)
    floor (18501.5)     		tx = 18501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689773559570312 × 215)
    floor (0.689773559570312 × 32768)
    floor (22602.5)     		ty = 22602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18501 / 22602 ti = "15/18501/22602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18501/22602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18501 ÷ 215
    18501 ÷ 32768     		x = 0.564605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22602 ÷ 215
    22602 ÷ 32768     		y = 0.68975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564605712890625 × 2 - 1) × π
    0.12921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40592967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.3795166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19228656735004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40592967} λ = 0.40592967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19228656735004))-π/2
    2×atan(0.303526436345029)-π/2
    2×0.294688908892165-π/2
    0.589377817784329-1.57079632675     		φ = -0.98141851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40592967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98141851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.231139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18501 KachelY 22602 0.40592967 -0.98141851 23.258057 -56.231139
    Oben rechts KachelX + 1 18502 KachelY 22602 0.40612141 -0.98141851 23.269043 -56.231139
    Unten links KachelX 18501 KachelY + 1 22603 0.40592967 -0.98152508 23.258057 -56.237245
    Unten rechts KachelX + 1 18502 KachelY + 1 22603 0.40612141 -0.98152508 23.269043 -56.237245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98141851--0.98152508) × R
    0.000106570000000028 × 6371000     		dl = 678.957470000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98141851--0.98152508) × R
    0.000106570000000028 × 6371000     		dr = 678.957470000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40592967-0.40612141) × cos(-0.98141851) × R
    0.000191739999999996 × 0.555843917924172 × 6371000     		do = 679.005334193921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40592967-0.40612141) × cos(-0.98152508) × R
    0.000191739999999996 × 0.555755324546795 × 6371000     		du = 678.897110691112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98141851)-sin(-0.98152508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555843917924172-0.555755324546795)×R²
    abs(0.40612141-0.40592967)×8.85933773767666e-05×R²
    0.000191739999999996×8.85933773767666e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.85933773767666e-05×40589641000000     		ar = 460979.004679924m²