Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18501 / 22597
↖ ↑ ↗
← S 56.200593°
E 23.258057°		 ← 679.55 m → S 56.200593°
E 23.269043°		 →
↑
679.53 m
↓
↑
679.53 m
↓
S 56.206704°
E 23.258057°		 ← 679.44 m →
461 736 m²		 S 56.206704°
E 23.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564620971679688 y=0.689620971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564620971679688 × 215)
    floor (0.564620971679688 × 32768)
    floor (18501.5)     		tx = 18501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689620971679688 × 215)
    floor (0.689620971679688 × 32768)
    floor (22597.5)     		ty = 22597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18501 / 22597 ti = "15/18501/22597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18501/22597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18501 ÷ 215
    18501 ÷ 32768     		x = 0.564605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22597 ÷ 215
    22597 ÷ 32768     		y = 0.689605712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564605712890625 × 2 - 1) × π
    0.12921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40592967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.37921142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19132782935764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40592967} λ = 0.40592967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19132782935764))-π/2
    2×atan(0.303817578213336)-π/2
    2×0.294955469429333-π/2
    0.589910938858667-1.57079632675     		φ = -0.98088539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40592967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98088539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.200593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18501 KachelY 22597 0.40592967 -0.98088539 23.258057 -56.200593
    Oben rechts KachelX + 1 18502 KachelY 22597 0.40612141 -0.98088539 23.269043 -56.200593
    Unten links KachelX 18501 KachelY + 1 22598 0.40592967 -0.98099205 23.258057 -56.206704
    Unten rechts KachelX + 1 18502 KachelY + 1 22598 0.40612141 -0.98099205 23.269043 -56.206704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98088539--0.98099205) × R
    0.000106660000000036 × 6371000     		dl = 679.53086000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98088539--0.98099205) × R
    0.000106660000000036 × 6371000     		dr = 679.53086000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40592967-0.40612141) × cos(-0.98088539) × R
    0.000191739999999996 × 0.556287014466152 × 6371000     		do = 679.546610091462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40592967-0.40612141) × cos(-0.98099205) × R
    0.000191739999999996 × 0.556198377884438 × 6371000     		du = 679.438333811291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98088539)-sin(-0.98099205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556287014466152-0.556198377884438)×R²
    abs(0.40612141-0.40592967)×8.86365817139856e-05×R²
    0.000191739999999996×8.86365817139856e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.86365817139856e-05×40589641000000     		ar = 461736.104266572m²