Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18501 / 15165
↖ ↑ ↗
← N 13.272026°
E 23.258057°		 ← 1 188.95 m → N 13.272026°
E 23.269043°		 →
↑
1 189.02 m
↓
↑
1 189.02 m
↓
N 13.261333°
E 23.258057°		 ← 1 189 m →
1 413 714 m²		 N 13.261333°
E 23.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564620971679688 y=0.462814331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564620971679688 × 215)
    floor (0.564620971679688 × 32768)
    floor (18501.5)     		tx = 18501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462814331054688 × 215)
    floor (0.462814331054688 × 32768)
    floor (15165.5)     		ty = 15165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18501 / 15165 ti = "15/18501/15165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18501/15165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18501 ÷ 215
    18501 ÷ 32768     		x = 0.564605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15165 ÷ 215
    15165 ÷ 32768     		y = 0.462799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564605712890625 × 2 - 1) × π
    0.12921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40592967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462799072265625 × 2 - 1) × π
    0.07440185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.233740322547394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40592967} λ = 0.40592967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233740322547394))-π/2
    2×atan(1.26331639482663)-π/2
    2×0.901218442077809-π/2
    1.80243688415562-1.57079632675     		φ = 0.23164056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40592967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23164056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.272026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18501 KachelY 15165 0.40592967 0.23164056 23.258057 13.272026
    Oben rechts KachelX + 1 18502 KachelY 15165 0.40612141 0.23164056 23.269043 13.272026
    Unten links KachelX 18501 KachelY + 1 15166 0.40592967 0.23145393 23.258057 13.261333
    Unten rechts KachelX + 1 18502 KachelY + 1 15166 0.40612141 0.23145393 23.269043 13.261333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23164056-0.23145393) × R
    0.000186629999999993 × 6371000     		dl = 1189.01972999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23164056-0.23145393) × R
    0.000186629999999993 × 6371000     		dr = 1189.01972999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40592967-0.40612141) × cos(0.23164056) × R
    0.000191739999999996 × 0.973291074086493 × 6371000     		do = 1188.94856940436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40592967-0.40612141) × cos(0.23145393) × R
    0.000191739999999996 × 0.973333902638789 × 6371000     		du = 1189.00088771626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23164056)-sin(0.23145393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973291074086493-0.973333902638789)×R²
    abs(0.40612141-0.40592967)×4.28285522956484e-05×R²
    0.000191739999999996×4.28285522956484e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.28285522956484e-05×40589641000000     		ar = 1413714.41483284m²