Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1850 / 1050
↖ ↑ ↗
← N 65.585720°
W 17.402344°		 ← 4 039.48 m → N 65.585720°
W 17.314453°		 →
↑
4 042.34 m
↓
↑
4 042.34 m
↓
N 65.549367°
W 17.402344°		 ← 4 045.13 m →
16 340 354 m²		 N 65.549367°
W 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4517822265625 y=0.2564697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4517822265625 × 212)
    floor (0.4517822265625 × 4096)
    floor (1850.5)     		tx = 1850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2564697265625 × 212)
    floor (0.2564697265625 × 4096)
    floor (1050.5)     		ty = 1050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1850 / 1050 ti = "12/1850/1050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1850/1050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1850 ÷ 212
    1850 ÷ 4096     		x = 0.45166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1050 ÷ 212
    1050 ÷ 4096     		y = 0.25634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30372820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25634765625 × 2 - 1) × π
    0.4873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.53091282626611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30372820} λ = -0.30372820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53091282626611))-π/2
    2×atan(4.62239434004236)-π/2
    2×1.35774154173724-π/2
    2.71548308347448-1.57079632675     		φ = 1.14468676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30372820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14468676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.585720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1850 KachelY 1050 -0.30372820 1.14468676 -17.402344 65.585720
    Oben rechts KachelX + 1 1851 KachelY 1050 -0.30219422 1.14468676 -17.314453 65.585720
    Unten links KachelX 1850 KachelY + 1 1051 -0.30372820 1.14405227 -17.402344 65.549367
    Unten rechts KachelX + 1 1851 KachelY + 1 1051 -0.30219422 1.14405227 -17.314453 65.549367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14468676-1.14405227) × R
    0.000634489999999932 × 6371000     		dl = 4042.33578999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14468676-1.14405227) × R
    0.000634489999999932 × 6371000     		dr = 4042.33578999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30372820--0.30219422) × cos(1.14468676) × R
    0.00153397999999999 × 0.413331386050995 × 6371000     		do = 4039.48208896915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30372820--0.30219422) × cos(1.14405227) × R
    0.00153397999999999 × 0.413909057145611 × 6371000     		du = 4045.12766082448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14468676)-sin(1.14405227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413331386050995-0.413909057145611)×R²
    abs(-0.30219422--0.30372820)×0.000577671094616039×R²
    0.00153397999999999×0.000577671094616039×6371000²
    0.00153397999999999×0.000577671094616039×40589641000000     		ar = 16340354.21807m²