Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 185 / 218
↖ ↑ ↗
← N 25.799891°
W 49.921875°		 ← 70.391 km → N 25.799891°
W 49.218750°		 →
↑
70.577 km
↓
↑
70.577 km
↓
N 25.165173°
W 49.921875°		 ← 70.763 km →
4 981.18 km²		 N 25.165173°
W 49.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3623046875 y=0.4267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3623046875 × 29)
    floor (0.3623046875 × 512)
    floor (185.5)     		tx = 185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4267578125 × 29)
    floor (0.4267578125 × 512)
    floor (218.5)     		ty = 218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 185 / 218 ti = "9/185/218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/185/218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 185 ÷ 29
    185 ÷ 512     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 218 ÷ 29
    218 ÷ 512     		y = 0.42578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42578125 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466330159503906))-π/2
    2×atan(1.59413323071017)-π/2
    2×1.01054468728329-π/2
    2.02108937456659-1.57079632675     		φ = 0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 185 KachelY 218 -0.87130109 0.45029305 -49.921875 25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 186 KachelY 218 -0.85902924 0.45029305 -49.218750 25.799891
    Unten links KachelX 185 KachelY + 1 219 -0.87130109 0.43921513 -49.921875 25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 186 KachelY + 1 219 -0.85902924 0.43921513 -49.218750 25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45029305-0.43921513) × R
    0.01107792 × 6371000     		dl = 70577.4283199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45029305-0.43921513) × R
    0.01107792 × 6371000     		dr = 70577.4283199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.85902924) × cos(0.45029305) × R
    0.01227185 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 70390.5480760479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.85902924) × cos(0.43921513) × R
    0.01227185 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 70763.1802066764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45029305)-sin(0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.905085691620626)×R²
    abs(-0.85902924--0.87130109)×0.00476609458033006×R²
    0.01227185×0.00476609458033006×6371000²
    0.01227185×0.00476609458033006×40589641000000     		ar = 4981184511.13447m²