Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 185 / 215
↖ ↑ ↗
← N 27.683528°
W 49.921875°		 ← 69.234 km → N 27.683528°
W 49.218750°		 →
↑
69.430 km
↓
↑
69.430 km
↓
N 27.059126°
W 49.921875°		 ← 69.626 km →
4 820.59 km²		 N 27.059126°
W 49.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3623046875 y=0.4208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3623046875 × 29)
    floor (0.3623046875 × 512)
    floor (185.5)     		tx = 185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4208984375 × 29)
    floor (0.4208984375 × 512)
    floor (215.5)     		ty = 215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 185 / 215 ti = "9/185/215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/185/215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 185 ÷ 29
    185 ÷ 512     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 215 ÷ 29
    215 ÷ 512     		y = 0.419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419921875 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.503145698412109))-π/2
    2×atan(1.65391581653716)-π/2
    2×1.02698252020629-π/2
    2.05396504041258-1.57079632675     		φ = 0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 185 KachelY 215 -0.87130109 0.48316871 -49.921875 27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 186 KachelY 215 -0.85902924 0.48316871 -49.218750 27.683528
    Unten links KachelX 185 KachelY + 1 216 -0.87130109 0.47227084 -49.921875 27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 186 KachelY + 1 216 -0.85902924 0.47227084 -49.218750 27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48316871-0.47227084) × R
    0.01089787 × 6371000     		dl = 69430.3297699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48316871-0.47227084) × R
    0.01089787 × 6371000     		dr = 69430.3297699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.85902924) × cos(0.48316871) × R
    0.01227185 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 69234.0221332735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.85902924) × cos(0.47227084) × R
    0.01227185 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 69625.7495632111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48316871)-sin(0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.890537558006442)×R²
    abs(-0.85902924--0.87130109)×0.0050103301012806×R²
    0.01227185×0.0050103301012806×6371000²
    0.01227185×0.0050103301012806×40589641000000     		ar = 4820587579.6141m²