Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18499 / 15167
↖ ↑ ↗
← N 13.250640°
E 23.236084°		 ← 1 189.12 m → N 13.250640°
E 23.247070°		 →
↑
1 189.15 m
↓
↑
1 189.15 m
↓
N 13.239945°
E 23.236084°		 ← 1 189.17 m →
1 414 064 m²		 N 13.239945°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564559936523438 y=0.462875366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564559936523438 × 215)
    floor (0.564559936523438 × 32768)
    floor (18499.5)     		tx = 18499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462875366210938 × 215)
    floor (0.462875366210938 × 32768)
    floor (15167.5)     		ty = 15167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18499 / 15167 ti = "15/18499/15167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18499/15167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18499 ÷ 215
    18499 ÷ 32768     		x = 0.564544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15167 ÷ 215
    15167 ÷ 32768     		y = 0.462860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564544677734375 × 2 - 1) × π
    0.12908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40554617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462860107421875 × 2 - 1) × π
    0.07427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.233356827350433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40554617} λ = 0.40554617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233356827350433))-π/2
    2×atan(1.26283201194217)-π/2
    2×0.901031807640351-π/2
    1.8020636152807-1.57079632675     		φ = 0.23126729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40554617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23126729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.250640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18499 KachelY 15167 0.40554617 0.23126729 23.236084 13.250640
    Oben rechts KachelX + 1 18500 KachelY 15167 0.40573792 0.23126729 23.247070 13.250640
    Unten links KachelX 18499 KachelY + 1 15168 0.40554617 0.23108064 23.236084 13.239945
    Unten rechts KachelX + 1 18500 KachelY + 1 15168 0.40573792 0.23108064 23.247070 13.239945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23126729-0.23108064) × R
    0.000186649999999983 × 6371000     		dl = 1189.14714999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23126729-0.23108064) × R
    0.000186649999999983 × 6371000     		dr = 1189.14714999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40554617-0.40573792) × cos(0.23126729) × R
    0.000191749999999991 × 0.97337669958124 × 6371000     		do = 1189.11518124384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40554617-0.40573792) × cos(0.23108064) × R
    0.000191749999999991 × 0.973419464906907 × 6371000     		du = 1189.16742504422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23126729)-sin(0.23108064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97337669958124-0.973419464906907)×R²
    abs(0.40573792-0.40554617)×4.2765325667049e-05×R²
    0.000191749999999991×4.2765325667049e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.2765325667049e-05×40589641000000     		ar = 1414063.9956863m²