Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18498 / 22615
↖ ↑ ↗
← S 56.310443°
E 23.225097°		 ← 677.63 m → S 56.310443°
E 23.236084°		 →
↑
677.56 m
↓
↑
677.56 m
↓
S 56.316537°
E 23.225097°		 ← 677.53 m →
459 099 m²		 S 56.316537°
E 23.236084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564529418945312 y=0.690170288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564529418945312 × 215)
    floor (0.564529418945312 × 32768)
    floor (18498.5)     		tx = 18498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690170288085938 × 215)
    floor (0.690170288085938 × 32768)
    floor (22615.5)     		ty = 22615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18498 / 22615 ti = "15/18498/22615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18498/22615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18498 ÷ 215
    18498 ÷ 32768     		x = 0.56451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22615 ÷ 215
    22615 ÷ 32768     		y = 0.690155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56451416015625 × 2 - 1) × π
    0.1290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40535442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.38031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19477928613028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40535442} λ = 0.40535442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19477928613028))-π/2
    2×atan(0.302770772516845)-π/2
    2×0.293996845108347-π/2
    0.587993690216694-1.57079632675     		φ = -0.98280264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40535442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.225097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98280264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.310443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18498 KachelY 22615 0.40535442 -0.98280264 23.225097 -56.310443
    Oben rechts KachelX + 1 18499 KachelY 22615 0.40554617 -0.98280264 23.236084 -56.310443
    Unten links KachelX 18498 KachelY + 1 22616 0.40535442 -0.98290899 23.225097 -56.316537
    Unten rechts KachelX + 1 18499 KachelY + 1 22616 0.40554617 -0.98290899 23.236084 -56.316537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98280264--0.98290899) × R
    0.000106350000000033 × 6371000     		dl = 677.555850000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98280264--0.98290899) × R
    0.000106350000000033 × 6371000     		dr = 677.555850000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40535442-0.40554617) × cos(-0.98280264) × R
    0.000191749999999991 × 0.554692777016493 × 6371000     		do = 677.634468094813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40535442-0.40554617) × cos(-0.98290899) × R
    0.000191749999999991 × 0.554604284804963 × 6371000     		du = 677.526362535888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98280264)-sin(-0.98290899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554692777016493-0.554604284804963)×R²
    abs(0.40554617-0.40535442)×8.84922115299558e-05×R²
    0.000191749999999991×8.84922115299558e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.84922115299558e-05×40589641000000     		ar = 459098.574675433m²