Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18497 / 22613
↖ ↑ ↗
← S 56.298253°
E 23.214112°		 ← 677.82 m → S 56.298253°
E 23.225097°		 →
↑
677.81 m
↓
↑
677.81 m
↓
S 56.304349°
E 23.214112°		 ← 677.71 m →
459 394 m²		 S 56.304349°
E 23.225097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564498901367188 y=0.690109252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564498901367188 × 215)
    floor (0.564498901367188 × 32768)
    floor (18497.5)     		tx = 18497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690109252929688 × 215)
    floor (0.690109252929688 × 32768)
    floor (22613.5)     		ty = 22613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18497 / 22613 ti = "15/18497/22613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18497/22613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18497 ÷ 215
    18497 ÷ 32768     		x = 0.564483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22613 ÷ 215
    22613 ÷ 32768     		y = 0.690093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564483642578125 × 2 - 1) × π
    0.12896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40516268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.38018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19439579093332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40516268} λ = 0.40516268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19439579093332))-π/2
    2×atan(0.302886905920764)-π/2
    2×0.294103223087107-π/2
    0.588206446174213-1.57079632675     		φ = -0.98258988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40516268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.214112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98258988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.298253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18497 KachelY 22613 0.40516268 -0.98258988 23.214112 -56.298253
    Oben rechts KachelX + 1 18498 KachelY 22613 0.40535442 -0.98258988 23.225097 -56.298253
    Unten links KachelX 18497 KachelY + 1 22614 0.40516268 -0.98269627 23.214112 -56.304349
    Unten rechts KachelX + 1 18498 KachelY + 1 22614 0.40535442 -0.98269627 23.225097 -56.304349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98258988--0.98269627) × R
    0.000106390000000012 × 6371000     		dl = 677.810690000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98258988--0.98269627) × R
    0.000106390000000012 × 6371000     		dr = 677.810690000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40516268-0.40535442) × cos(-0.98258988) × R
    0.000191739999999996 × 0.554869792533523 × 6371000     		do = 677.815366443812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40516268-0.40535442) × cos(-0.98269627) × R
    0.000191739999999996 × 0.554781279594194 × 6371000     		du = 677.707241202153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98258988)-sin(-0.98269627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554869792533523-0.554781279594194)×R²
    abs(0.40535442-0.40516268)×8.85129393293216e-05×R²
    0.000191739999999996×8.85129393293216e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.85129393293216e-05×40589641000000     		ar = 459393.85743273m²