Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18497 / 15431
↖ ↑ ↗
← N 10.412183°
E 23.214112°		 ← 1 201.46 m → N 10.412183°
E 23.225097°		 →
↑
1 201.51 m
↓
↑
1 201.51 m
↓
N 10.401378°
E 23.214112°		 ← 1 201.50 m →
1 443 587 m²		 N 10.401378°
E 23.225097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564498901367188 y=0.470932006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564498901367188 × 215)
    floor (0.564498901367188 × 32768)
    floor (18497.5)     		tx = 18497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470932006835938 × 215)
    floor (0.470932006835938 × 32768)
    floor (15431.5)     		ty = 15431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18497 / 15431 ti = "15/18497/15431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18497/15431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18497 ÷ 215
    18497 ÷ 32768     		x = 0.564483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15431 ÷ 215
    15431 ÷ 32768     		y = 0.470916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564483642578125 × 2 - 1) × π
    0.12896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40516268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470916748046875 × 2 - 1) × π
    0.05816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.182735461351654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40516268} λ = 0.40516268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.182735461351654))-π/2
    2×atan(1.20049678827361)-π/2
    2×0.876261602614606-π/2
    1.75252320522921-1.57079632675     		φ = 0.18172688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40516268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.214112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18172688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.412183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18497 KachelY 15431 0.40516268 0.18172688 23.214112 10.412183
    Oben rechts KachelX + 1 18498 KachelY 15431 0.40535442 0.18172688 23.225097 10.412183
    Unten links KachelX 18497 KachelY + 1 15432 0.40516268 0.18153829 23.214112 10.401378
    Unten rechts KachelX + 1 18498 KachelY + 1 15432 0.40535442 0.18153829 23.225097 10.401378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18172688-0.18153829) × R
    0.000188590000000016 × 6371000     		dl = 1201.5068900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18172688-0.18153829) × R
    0.000188590000000016 × 6371000     		dr = 1201.5068900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40516268-0.40535442) × cos(0.18172688) × R
    0.000191739999999996 × 0.9835330633851 × 6371000     		do = 1201.45993301248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40516268-0.40535442) × cos(0.18153829) × R
    0.000191739999999996 × 0.983567129442025 × 6371000     		du = 1201.50154727437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18172688)-sin(0.18153829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9835330633851-0.983567129442025)×R²
    abs(0.40535442-0.40516268)×3.40660569247975e-05×R²
    0.000191739999999996×3.40660569247975e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.40660569247975e-05×40589641000000     		ar = 1443587.39176328m²