Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18497 / 13759
↖ ↑ ↗
← N 27.693256°
E 23.214112°		 ← 1 081.64 m → N 27.693256°
E 23.225097°		 →
↑
1 081.73 m
↓
↑
1 081.73 m
↓
N 27.683528°
E 23.214112°		 ← 1 081.74 m →
1 170 099 m²		 N 27.683528°
E 23.225097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564498901367188 y=0.419906616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564498901367188 × 215)
    floor (0.564498901367188 × 32768)
    floor (18497.5)     		tx = 18497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419906616210938 × 215)
    floor (0.419906616210938 × 32768)
    floor (13759.5)     		ty = 13759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18497 / 13759 ti = "15/18497/13759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18497/13759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18497 ÷ 215
    18497 ÷ 32768     		x = 0.564483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13759 ÷ 215
    13759 ÷ 32768     		y = 0.419891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564483642578125 × 2 - 1) × π
    0.12896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40516268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419891357421875 × 2 - 1) × π
    0.16021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.50333744601059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40516268} λ = 0.40516268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50333744601059))-π/2
    2×atan(1.65423298132989)-π/2
    2×1.02706741528396-π/2
    2.05413483056791-1.57079632675     		φ = 0.48333850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40516268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.214112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48333850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.693256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18497 KachelY 13759 0.40516268 0.48333850 23.214112 27.693256
    Oben rechts KachelX + 1 18498 KachelY 13759 0.40535442 0.48333850 23.225097 27.693256
    Unten links KachelX 18497 KachelY + 1 13760 0.40516268 0.48316871 23.214112 27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 18498 KachelY + 1 13760 0.40535442 0.48316871 23.225097 27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48333850-0.48316871) × R
    0.000169790000000003 × 6371000     		dl = 1081.73209000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48333850-0.48316871) × R
    0.000169790000000003 × 6371000     		dr = 1081.73209000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40516268-0.40535442) × cos(0.48333850) × R
    0.000191739999999996 × 0.885448332832659 × 6371000     		do = 1081.64202532213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40516268-0.40535442) × cos(0.48316871) × R
    0.000191739999999996 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 1081.73840161293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48333850)-sin(0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885448332832659-0.885527227905161)×R²
    abs(0.40535442-0.40516268)×7.88950725023607e-05×R²
    0.000191739999999996×7.88950725023607e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.88950725023607e-05×40589641000000     		ar = 1170099.01815774m²