Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18497 / 10300
↖ ↑ ↗
← N 76.765572°
W 78.392944°		 ← 139.83 m → N 76.765572°
W 78.387451°		 →
↑
139.84 m
↓
↑
139.84 m
↓
N 76.764315°
W 78.392944°		 ← 139.84 m →
19 555 m²		 N 76.764315°
W 78.387451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282249450683594 y=0.157173156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282249450683594 × 216)
    floor (0.282249450683594 × 65536)
    floor (18497.5)     		tx = 18497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157173156738281 × 216)
    floor (0.157173156738281 × 65536)
    floor (10300.5)     		ty = 10300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18497 / 10300 ti = "16/18497/10300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18497/10300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18497 ÷ 216
    18497 ÷ 65536     		x = 0.282241821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10300 ÷ 216
    10300 ÷ 65536     		y = 0.15716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282241821289062 × 2 - 1) × π
    -0.435516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36821499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15716552734375 × 2 - 1) × π
    0.6856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15409252132684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36821499} λ = -1.36821499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15409252132684))-π/2
    2×atan(8.62006410417206)-π/2
    2×1.45530415848674-π/2
    2.91060831697349-1.57079632675     		φ = 1.33981199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36821499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.392944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33981199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.765572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18497 KachelY 10300 -1.36821499 1.33981199 -78.392944 76.765572
    Oben rechts KachelX + 1 18498 KachelY 10300 -1.36811912 1.33981199 -78.387451 76.765572
    Unten links KachelX 18497 KachelY + 1 10301 -1.36821499 1.33979004 -78.392944 76.764315
    Unten rechts KachelX + 1 18498 KachelY + 1 10301 -1.36811912 1.33979004 -78.387451 76.764315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33981199-1.33979004) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dl = 139.843450000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33981199-1.33979004) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dr = 139.843450000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36821499--1.36811912) × cos(1.33981199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228935828593116 × 6371000     		do = 139.831204219488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36821499--1.36811912) × cos(1.33979004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228957195579254 × 6371000     		du = 139.844254913303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33981199)-sin(1.33979004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228935828593116-0.228957195579254)×R²
    abs(-1.36811912--1.36821499)×2.13669861384158e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.13669861384158e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.13669861384158e-05×40589641000000     		ar = 19555.3905435141m²