Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18493 / 14253
↖ ↑ ↗
← N 22.786311°
E 23.170166°		 ← 1 126.24 m → N 22.786311°
E 23.181152°		 →
↑
1 126.33 m
↓
↑
1 126.33 m
↓
N 22.776182°
E 23.170166°		 ← 1 126.32 m →
1 268 562 m²		 N 22.776182°
E 23.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564376831054688 y=0.434982299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564376831054688 × 215)
    floor (0.564376831054688 × 32768)
    floor (18493.5)     		tx = 18493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434982299804688 × 215)
    floor (0.434982299804688 × 32768)
    floor (14253.5)     		ty = 14253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18493 / 14253 ti = "15/18493/14253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18493/14253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18493 ÷ 215
    18493 ÷ 32768     		x = 0.564361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14253 ÷ 215
    14253 ÷ 32768     		y = 0.434967041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564361572265625 × 2 - 1) × π
    0.12872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40439569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434967041015625 × 2 - 1) × π
    0.13006591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.408614132361359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40439569} λ = 0.40439569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408614132361359))-π/2
    2×atan(1.50473098145796)-π/2
    2×0.984246237218353-π/2
    1.96849247443671-1.57079632675     		φ = 0.39769615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40439569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.170166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39769615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.786311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18493 KachelY 14253 0.40439569 0.39769615 23.170166 22.786311
    Oben rechts KachelX + 1 18494 KachelY 14253 0.40458743 0.39769615 23.181152 22.786311
    Unten links KachelX 18493 KachelY + 1 14254 0.40439569 0.39751936 23.170166 22.776182
    Unten rechts KachelX + 1 18494 KachelY + 1 14254 0.40458743 0.39751936 23.181152 22.776182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39769615-0.39751936) × R
    0.000176790000000038 × 6371000     		dl = 1126.32909000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39769615-0.39751936) × R
    0.000176790000000038 × 6371000     		dr = 1126.32909000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40439569-0.40458743) × cos(0.39769615) × R
    0.000191740000000051 × 0.921955710289096 × 6371000     		do = 1126.23854465279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40439569-0.40458743) × cos(0.39751936) × R
    0.000191740000000051 × 0.922024165821405 × 6371000     		du = 1126.32216825663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39769615)-sin(0.39751936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921955710289096-0.922024165821405)×R²
    abs(0.40458743-0.40439569)×6.8455532309275e-05×R²
    0.000191740000000051×6.8455532309275e-05×6371000²
    0.000191740000000051×6.8455532309275e-05×40589641000000     		ar = 1268562.3322749m²