Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18491 / 15128
↖ ↑ ↗
← N 13.667338°
E 23.148193°		 ← 1 187.05 m → N 13.667338°
E 23.159180°		 →
↑
1 187.04 m
↓
↑
1 187.04 m
↓
N 13.656663°
E 23.148193°		 ← 1 187.10 m →
1 409 110 m²		 N 13.656663°
E 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564315795898438 y=0.461685180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564315795898438 × 215)
    floor (0.564315795898438 × 32768)
    floor (18491.5)     		tx = 18491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461685180664062 × 215)
    floor (0.461685180664062 × 32768)
    floor (15128.5)     		ty = 15128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18491 / 15128 ti = "15/18491/15128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18491/15128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18491 ÷ 215
    18491 ÷ 32768     		x = 0.564300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15128 ÷ 215
    15128 ÷ 32768     		y = 0.461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564300537109375 × 2 - 1) × π
    0.12860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40401219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    0.07666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.240834983691162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40401219} λ = 0.40401219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240834983691162))-π/2
    2×atan(1.27231106590873)-π/2
    2×0.904668189701489-π/2
    1.80933637940298-1.57079632675     		φ = 0.23854005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40401219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23854005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.667338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18491 KachelY 15128 0.40401219 0.23854005 23.148193 13.667338
    Oben rechts KachelX + 1 18492 KachelY 15128 0.40420394 0.23854005 23.159180 13.667338
    Unten links KachelX 18491 KachelY + 1 15129 0.40401219 0.23835373 23.148193 13.656663
    Unten rechts KachelX + 1 18492 KachelY + 1 15129 0.40420394 0.23835373 23.159180 13.656663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23854005-0.23835373) × R
    0.00018631999999999 × 6371000     		dl = 1187.04471999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23854005-0.23835373) × R
    0.00018631999999999 × 6371000     		dr = 1187.04471999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40401219-0.40420394) × cos(0.23854005) × R
    0.000191749999999991 × 0.971683973497278 × 6371000     		do = 1187.04728062018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40401219-0.40420394) × cos(0.23835373) × R
    0.000191749999999991 × 0.971727981115899 × 6371000     		du = 1187.10104205438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23854005)-sin(0.23835373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971683973497278-0.971727981115899)×R²
    abs(0.40420394-0.40401219)×4.40076186210003e-05×R²
    0.000191749999999991×4.40076186210003e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.40076186210003e-05×40589641000000     		ar = 1409110.11954029m²