Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18491 / 13628
↖ ↑ ↗
← N 28.960089°
E 23.148193°		 ← 1 068.88 m → N 28.960089°
E 23.159180°		 →
↑
1 068.93 m
↓
↑
1 068.93 m
↓
N 28.950476°
E 23.148193°		 ← 1 068.98 m →
1 142 609 m²		 N 28.950476°
E 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564315795898438 y=0.415908813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564315795898438 × 215)
    floor (0.564315795898438 × 32768)
    floor (18491.5)     		tx = 18491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415908813476562 × 215)
    floor (0.415908813476562 × 32768)
    floor (13628.5)     		ty = 13628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18491 / 13628 ti = "15/18491/13628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18491/13628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18491 ÷ 215
    18491 ÷ 32768     		x = 0.564300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13628 ÷ 215
    13628 ÷ 32768     		y = 0.4158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564300537109375 × 2 - 1) × π
    0.12860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40401219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4158935546875 × 2 - 1) × π
    0.168212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.528456381411499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40401219} λ = 0.40401219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528456381411499))-π/2
    2×atan(1.69631182815787)-π/2
    2×1.03812261302848-π/2
    2.07624522605696-1.57079632675     		φ = 0.50544890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40401219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50544890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.960089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18491 KachelY 13628 0.40401219 0.50544890 23.148193 28.960089
    Oben rechts KachelX + 1 18492 KachelY 13628 0.40420394 0.50544890 23.159180 28.960089
    Unten links KachelX 18491 KachelY + 1 13629 0.40401219 0.50528112 23.148193 28.950476
    Unten rechts KachelX + 1 18492 KachelY + 1 13629 0.40420394 0.50528112 23.159180 28.950476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50544890-0.50528112) × R
    0.000167779999999951 × 6371000     		dl = 1068.92637999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50544890-0.50528112) × R
    0.000167779999999951 × 6371000     		dr = 1068.92637999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40401219-0.40420394) × cos(0.50544890) × R
    0.000191749999999991 × 0.874957205094802 × 6371000     		do = 1068.88206381406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40401219-0.40420394) × cos(0.50528112) × R
    0.000191749999999991 × 0.875038431898526 × 6371000     		du = 1068.98129366564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50544890)-sin(0.50528112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874957205094802-0.875038431898526)×R²
    abs(0.40420394-0.40401219)×8.12268037242436e-05×R²
    0.000191749999999991×8.12268037242436e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.12268037242436e-05×40589641000000     		ar = 1142609.27250295m²