Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18490 / 22586
↖ ↑ ↗
← S 56.133307°
E 23.137207°		 ← 680.77 m → S 56.133307°
E 23.148193°		 →
↑
680.68 m
↓
↑
680.68 m
↓
S 56.139429°
E 23.137207°		 ← 680.67 m →
463 351 m²		 S 56.139429°
E 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564285278320312 y=0.689285278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564285278320312 × 215)
    floor (0.564285278320312 × 32768)
    floor (18490.5)     		tx = 18490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689285278320312 × 215)
    floor (0.689285278320312 × 32768)
    floor (22586.5)     		ty = 22586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18490 / 22586 ti = "15/18490/22586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18490/22586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18490 ÷ 215
    18490 ÷ 32768     		x = 0.56427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22586 ÷ 215
    22586 ÷ 32768     		y = 0.68927001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56427001953125 × 2 - 1) × π
    0.1285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40382044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68927001953125 × 2 - 1) × π
    -0.3785400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18921860577435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40382044} λ = 0.40382044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18921860577435))-π/2
    2×atan(0.304459073705204)-π/2
    2×0.295542650580195-π/2
    0.59108530116039-1.57079632675     		φ = -0.97971103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40382044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97971103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.133307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18490 KachelY 22586 0.40382044 -0.97971103 23.137207 -56.133307
    Oben rechts KachelX + 1 18491 KachelY 22586 0.40401219 -0.97971103 23.148193 -56.133307
    Unten links KachelX 18490 KachelY + 1 22587 0.40382044 -0.97981787 23.137207 -56.139429
    Unten rechts KachelX + 1 18491 KachelY + 1 22587 0.40401219 -0.97981787 23.148193 -56.139429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97971103--0.97981787) × R
    0.000106839999999941 × 6371000     		dl = 680.677639999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97971103--0.97981787) × R
    0.000106839999999941 × 6371000     		dr = 680.677639999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40382044-0.40401219) × cos(-0.97971103) × R
    0.000191749999999991 × 0.557262512331318 × 6371000     		do = 680.773757617513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40382044-0.40401219) × cos(-0.97981787) × R
    0.000191749999999991 × 0.557173796012878 × 6371000     		du = 680.665378280791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97971103)-sin(-0.97981787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557262512331318-0.557173796012878)×R²
    abs(0.40401219-0.40382044)×8.87163184400963e-05×R²
    0.000191749999999991×8.87163184400963e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.87163184400963e-05×40589641000000     		ar = 463350.589453498m²