Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1849 / 844
↖ ↑ ↗
← N 72.073911°
W 17.490235°		 ← 3 008.03 m → N 72.073911°
W 17.402344°		 →
↑
3 010.23 m
↓
↑
3 010.23 m
↓
N 72.046840°
W 17.490235°		 ← 3 012.42 m →
9 061 475 m²		 N 72.046840°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4515380859375 y=0.2061767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4515380859375 × 212)
    floor (0.4515380859375 × 4096)
    floor (1849.5)     		tx = 1849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2061767578125 × 212)
    floor (0.2061767578125 × 4096)
    floor (844.5)     		ty = 844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1849 / 844 ti = "12/1849/844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1849/844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1849 ÷ 212
    1849 ÷ 4096     		x = 0.451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 844 ÷ 212
    844 ÷ 4096     		y = 0.2060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.09716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30526218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2060546875 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84691286856152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30526218} λ = -0.30526218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84691286856152))-π/2
    2×atan(6.34021619839872)-π/2
    2×1.41436169351939-π/2
    2.82872338703877-1.57079632675     		φ = 1.25792706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30526218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.490235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25792706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.073911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1849 KachelY 844 -0.30526218 1.25792706 -17.490235 72.073911
    Oben rechts KachelX + 1 1850 KachelY 844 -0.30372820 1.25792706 -17.402344 72.073911
    Unten links KachelX 1849 KachelY + 1 845 -0.30526218 1.25745457 -17.490235 72.046840
    Unten rechts KachelX + 1 1850 KachelY + 1 845 -0.30372820 1.25745457 -17.402344 72.046840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25792706-1.25745457) × R
    0.000472490000000159 × 6371000     		dl = 3010.23379000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25792706-1.25745457) × R
    0.000472490000000159 × 6371000     		dr = 3010.23379000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30526218--0.30372820) × cos(1.25792706) × R
    0.00153397999999999 × 0.307789876057852 × 6371000     		do = 3008.02632817323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30526218--0.30372820) × cos(1.25745457) × R
    0.00153397999999999 × 0.3082393943534 × 6371000     		du = 3012.41946444309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25792706)-sin(1.25745457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307789876057852-0.3082393943534)×R²
    abs(-0.30372820--0.30526218)×0.000449518295548013×R²
    0.00153397999999999×0.000449518295548013×6371000²
    0.00153397999999999×0.000449518295548013×40589641000000     		ar = 9061474.84648255m²